Prueba de que la superficie de género superior admite una métrica de escalar de Ricci negativo en todas partes

Este resultado se deriva de i) el teorema de uniformización y ii) el teorema de Gauss-Bonnet en 2d.

De acuerdo con la declaración del teorema de uniformización de esta página wiki :

cada superficie de Riemann conectada X admite una métrica de Riemann real bidimensional completa única con curvatura constante −1, 0 o 1 que induce la misma estructura conforme

Por otro lado, según el teorema de Gauss-Bonnet , la integral de la curvatura escalar en una superficie 2d es un múltiplo positivo de la característica de Euler ($\chi=2-2g$). Como la característica de Euler es negativa para$g>1$por lo que del teorema de uniformización se sigue que -

cualquier superficie de Riemann con género$g>1$admite una métrica de Riemann real bidimensional completa única con curvatura constante −1 que induce la misma estructura conforme

Nota: No tengo conocimiento de ninguna buena referencia donde se pruebe la uniformización de la misma en la forma indicada anteriormente. Sin embargo, espero que pueda encontrar una prueba en algunas de las referencias mencionadas en el artículo wiki correspondiente.

¿Por qué no usar una construcción explícita para tal superficie?

Del múltiple atlas :

Cualquier métrica hiperbólica en una superficie cerrada y orientable$S_g$de género$g\ge 2$se obtiene mediante la siguiente construcción: elija una geodésica$4g$-gon en el plano hiperbolico${\Bbb H}^2$con area$4(g-1)\pi$. (Esto implica que la suma de los ángulos interiores es$2\pi$.) Luego elija isometrías que preserven la orientación$I_1,J_1,\ldots,I_g,J_g$que realizan el patrón de pegado de$S_g$: para$j=1,\ldots,g$requerimos eso$I_j$mapas$a_j$a$\overline{a}_j$,$J_j$mapas$b_j$a$\overline{b}_j$. Dejar$\Gamma\subset Isom^+\left({\Bbb H}^2\right)$sea ​​el subgrupo generado por$I_1,J_1,\ldots,I_g,J_g$. Entonces$\Gamma$es un subgrupo discreto de$Isom^+\left({\Bbb H}^2\right)$y$\Gamma\backslash{\Bbb H}^2$es una superficie hiperbólica difeomorfa a${\Bbb H}^2$.

Aquí hay una ilustración para la superficie del género 2 pegada desde un octágono en un plano hiperbólico (imagen tomada de aquí ):