Extender soluciones de una EDO más allá de un punto singular

Question

Extender soluciones de una EDO más allá de un punto singular

análisis
Matemáticas
teoría de la perturbación
ecuaciones diferenciales ordinarias

barón mingus

En el curso de mis estudios, estoy viendo la ODE:

(F^{3} (X))^{‴} = \frac{1}{6} X F (X), F (0) = 1, F^{'} (0) = 0

$\begin{equation} (f^3(x))'''=\frac{1}{6}xf(x),\quad f(0)=1,\,\,f'(0)=0 \end{equation}$ Dónde

f^{″} (0)

$f''(0)$ es un parámetro que queda indeterminado. Al mirarlo numéricamente, por

- 0.11 < f^{″} (0) < 0

$-0.11<f''(0)<0$ más o menos, la solución se curva hacia abajo por un tiempo hasta alcanzar un mínimo antes de dirigirse al infinito. Sin embargo, alrededor del valor crítico

f^{″} (0) \approx - 0.11

$f''(0) \approx -0.11$ toca el suelo

x

$x$ -eje y la solución 'se detiene' como la primera derivada,

f^{'} (x)

$f'(x)$ se convierte en singular allí.

En primer lugar, no he podido entender realmente por qué ocurre esta singularidad: cuando expando el término de la tercera derivada, termino con

3 F^{2} F^{‴} + 18 F F^{'} F^{″} + 6 (F^{'})^{3} - \frac{1}{6} X F = 0

$\begin{equation} 3f^2f'''+18ff'f''+6(f')^3-\frac{1}{6}xf=0 \end{equation}$ lo que me parece sugerir que como

f \to 0

$f \to 0$ ,

f^{'}

$f'$ debe tender a cero también, ya que todos los términos excepto el

6 (f^{'})^{3}

$6(f')^3$ hazte pequeño ¿Por qué estoy equivocado con este pensamiento?

En segundo lugar, me gustaría saber cómo se comportan las soluciones más allá de este punto, ya que la EDO surge como el problema imperturbable de un problema completo que tiene soluciones en toda la línea real. Lo que espero es que si podemos encontrar tal extensión, esta solución exhibirá oscilaciones decrecientes para $f''(0)<-0.11$ pero no tengo idea de cómo mostrar esto o incluso si es correcto.

Muchas gracias.

Respuestas (1)

Extender soluciones de una EDO más allá de un punto singular

usuario147263 · Answer 1

El problema es que la derivada más alta, $f'''$ , aparece con el factor $3f^2$ . Cuando el coeficiente de la derivada más alta desaparece, se espera un comportamiento singular.

Cómo arreglar esto: dejar $g=f^3$ . La ODA para $g$ es $g'''(x) =\frac16 xg(x)^{1/3}$ , que es mucho más razonable. Las condiciones iniciales deben ajustarse, ya que $g''(0) = 3f''(0)$ . Entonces, el valor crítico ahora está alrededor $-0.33$ . Pero a diferencia $f$ , la solución $g$ cruza el eje horizontal sin demasiado alboroto y continúa:

solución

Producido en Maple, con el comando

dsolve([diff(g(x),x$3)=x*abs(g(x))^(1/3)*signum(g(x))/6, g(0)=1, D(g)(0)=0, D(D(g))(0)=-0.33], g(x), numeric, range=0..6);

El gráfico nunca vuelve al territorio positivo. De hecho, puedes ver que alrededor $x=5$ , ambos $g'$ y $g''$ son negativos. Desde $g'''$ también es negativo de la ecuación, la segunda derivada seguirá disminuyendo, lo que significa que seguirá siendo negativa, lo que significa $g'$ seguirá disminuyendo... la solución baja bastante rápido, $\approx -x^6$ .

Desafortunadamente, lo anterior sugiere que esta ODE no es realmente útil para sus propósitos (entiendo por sus otras preguntas que estaba interesado en una ODE de quinto orden con comportamiento oscilatorio).

Gracias por responder esto (y comentar algunas de mis otras preguntas), sin embargo, creo que cometiste un error: $k=3k-3$ rendimientos $k=3/2$ , no $k=2/3$ . Por lo tanto, según este cálculo $f \sim (x-a)^{3/2}$ y $f'$ no explota en $a$ . ¿Es el problema el $xf(x)$ ¿término? No estoy convencido de que sea realmente de orden. $k$ .
@BaronMingus De hecho, cometí un error. Ver la respuesta revisada.
¡Brillante! Gracias. Investigaré mañana, pero no me sorprendería si hay más valores negativos de $g''(0)$ para los cuales se manifiesta un comportamiento oscilatorio.
@BaronMingus Me sorprendería . Probé varios otros valores; cuanto mas negativo $g''(0)$ , más rápido cae la curva en territorio "negativo y cóncavo", desde el cual no hay vuelta atrás.
Mmmm, desconcertante. ¿Podría esto estar relacionado con tomar de alguna manera la rama 'incorrecta' de la raíz cúbica?
@BaronMingus No, creo que este es el correcto; la raiz cubica de este $g$ resuelve la ecuación original. Si tuvieramos $g''' = x|g|^{1/3}$ , la solución siempre tendería a $+\infty$ . El efecto oscilatorio en su ecuación de quinto orden (al menos el segundo de ellos) es muy frágil; Creo que quitando la quinta derivada la pierdes por completo. Por cierto, es divertido experimentar con datos iniciales en esa ecuación: estaba intentando $f(0)=1$ , $f''(0)=c$ y fijando otros derivados en $0$ a $0$ . Obtuve $c=-0.105327761..$ por oscilación.

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