Solución del polinomio de la ecuación de Legendre

Supongamos que la ecuación tiene una solución polinomial. Escribámoslo como:

$$w = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots + a_n z^n$$

Para un caso más simple, escribamos$w = a_0 + a_1z$, dónde$a_1 \neq 0$. Entonces:

$$\frac{dw}{dz} = a_1$$ $$(1 - z^2)\frac{dw}{dz} = a_1 - a_1z^2$$ $$\frac{d}{dz}\left((1 - z^2)\frac{dw}{dz}\right) + \lambda w = -2a_1z + \lambda(a_0 + a_1z) = \lambda a_0 + (\lambda - 2)a_1z$$

Ahora, está claro que$a_0 = 0$. Pero, para que desaparezca el segundo término, ves que debes tener$\lambda = 2$. Y cuando$\lambda = 2$,$w = a_1z$es una solución para todos$a_1$. ¿Qué pasa con un cuadrático:$w = a_0 + a_1z + a_2z^2$, dónde$a_2 \neq 0$. Tenemos:

$$\frac{dw}{dz} = a_1 + 2a_2z$$

$$(1 - z^2)\frac{dw}{dz} = a_1 + 2a_2z - a_1z^2 - 2a_2z^3$$

$$\begin{align*}\frac{d}{dz}\left((1 - z^2)\frac{dw}{dz}\right) + \lambda w &= 2a_2 - 2a_1z - 6a_2z^2 + \lambda(a_0 + a_1z + a_2z^2) \\ &= (2a_2 + \lambda a_0) + (\lambda - 2)a_1 z + (\lambda - 6)a_2 z^2\end{align*}$$

Ahora, para que desaparezca el último término, debemos tener$\lambda = 6$. Y cuando$\lambda = 6$,$a_0 + a_2z^2$es una solución mientras$a_2 + 3a_0 = 0$.

En este punto, debería poder atacar el caso general. Debes encontrar que, para cada entero$n$, hay un valor único de$\lambda$tal que existe una solución polinomial de grado$n$.