Demostrando la conservación de energía para la ecuación de onda

Hola chicos, mañana tengo un examen parcial y estaba haciendo este problema de práctica en el que necesito ayuda.

Así que cualquier sugerencia o solución sería apreciada. Gracias por tu tiempo

Problema

El parche de los timbales está constituido por una especie de membrana elástica que se extiende sobre un cuenco circular; en un lenguaje matemático, estamos estudiando el desplazamiento$u$de la membrana en función$u(x, y, t)$definido en$D = \{(x,y,t) \ |\ x^2 + y^2 \leq R, \ -\infty < t < \infty\}$, dónde$R$es el radio del cuenco. La función u satisface la ecuación de onda bidimensional

$u_{tt} = c^2(u_{xx} + u_{yy})$

con condiciones de contorno de Dirichlet$u = 0$en el límite Demostrar la conservación de la energía E(t), que se define como

$E(t) = \frac{1}{2} \iint\limits_D u_{t}^2 + c^2 (u_{x}^2 + u_{y}^2) dxdy$

[Sugerencia: proceda como lo hicimos para el caso unidimensional y use el teorema de la divergencia para "integrar por partes"] que no entiendo

Supongamos ahora que tenemos en cuenta la fricción entre el aire y la membrana; el desplazamiento de la membrana ahora satisface la ecuación de onda amortiguada, que dice:

$u_{tt} - c^2 (u_{xx} + u_{yy}) = -vu_{t}$

con las mismas condiciones de contorno. Demuestre que, en este caso, la energía es siempre una función estrictamente decreciente excepto si$u(x, y, t) = 0$, para el cual es constante igual a$0$. [Sugerencia: ¿Qué condición debe$u_t$satisface para que E sea no decreciente? ¿Qué PDE vas a satisfacer? Concluya utilizando el principio del máximo.

Mi intento:

Así que primero encontré la derivada de E(t) y si la derivada de E(t) = 0 entonces sé que la energía se conserva y usé la integral por partes en 3 dimensiones para resolver eso

Llegar$\iint 2u_{t}u_{tt} = 0$porque está disminuyendo. Como la derivada es 0 E es constante en el tiempo

por lo tanto, la energía se conserva.

Pero no entiendo la última parte por favor cualquier ayuda o sugerencia sería muy apreciada.

Gracias