Expresar la función de densidad de probabilidad de AxAxAx en términos de la función de densidad de probabilidad de xxx

Question

Expresar la función de densidad de probabilidad de AxAxAx en términos de la función de densidad de probabilidad de xxx

funciones
intuición
Matemáticas
probabilidad

RESPLANDOR

Entiendo que, por ejemplo, podría tener una función de densidad que mide la probabilidad de observar un resultado en un cierto intervalo medido en pies, pero alguien desea usar metros en lugar de pies. La función de densidad tendrá la misma forma, pero el argumento será escalado por el factor de conversión entre pies y metros. También sé que la forma de una función invariante de escala es indistinguible si las unidades en los ejes x e y están escaladas. También entiendo completamente la derivación de $f(Ax)=\frac{1}Af(x)$ que se puede encontrar haciendo clic en el siguiente enlace. Finalmente, sé que $f(Ax)=\frac{1}Af(x)$ sólo es válido para Funciones de Densidad de Probabilidad que denotaré por $f(x)$ Lo que busco es una respuesta a la siguiente pregunta.

Mi pregunta es; después de reorganizar la propiedad de invariancia de escala: $f(Ax)=\frac{1}Af(x)$ da $Af(Ax)=f(x)$ . Ahora voy a intentar demostrar que $f(x)$ satisface $f(Ax)=\frac{1}Af(x)$ para dos casos: $f(x)=$ una constante & $f(x)=$ un poder de $x$ .

Caso 1: Arrendamiento $f(x)=\frac{1}6$ , como $\frac{1}6$ es una función de densidad de probabilidad válida en el dominio $(1,7)$ y satisface

\int_{1}^{7} F (X) d X = 1

$\int_{1}^{7}f(x)dx=1$ Ahora sé que constante

A

$A$ escala el argumento. Ahora desde la ecuación

A f (A x) = f (x)

$Af(Ax)=f(x)$ es cierto para todos

A

$A$ ; ya que es solo un factor de escala. Así que dejar

A = 4

$A=4$ Por ejemplo. esto se convierte

A f (A x) = f (x)

$Af(Ax)=f(x)$ en

4 * \frac{1}{6} = \frac{1}{6}

$4*\frac{1}6=\frac{1}6$ , lo que obviamente no es cierto, pero

W H Y

$WHY$ ¿no? ¿Me puede dar un ejemplo numérico de cuando

f (A x) = \frac{1}{A} f (x)

$f(Ax)=\frac{1}Af(x)$ ¿Está satisfecho? Hace

f (A x) = \frac{1}{A} f (x)

$f(Ax)=\frac{1}Af(x)$ satisfacer todos

x

$x$ ?

Por cierto; soy consciente de que $f(4x)$ podría significar un factor de extensión de escala $\frac{1}4$ Paralelo a $x$ -el eje podría girar $Af(Ax)=f(x)$ en $4*\frac{1}4*\frac{1}6=\frac{1}6$ y lo he rechazado como respuesta desde $f(x)=\frac{1}6$ tiene dominio $1\leq\ x\leq7$ , pero la función $f(4x)$ por otro lado, solo se define cuando $1\leq\ 4x\leq7$ , o $\frac{1}4\leq\ x\leq\frac{7}4$ , entonces las dos funciones $f(x)$ y $f(4x)$ no tienen el mismo dominio, entonces $f(4x)$ no puede ser un múltiplo constante de $f(x)$ .

Caso 2: Arrendamiento $f(x)=\frac{3}7x^2$ , como $\frac{3}7x^2$ es una función de densidad de probabilidad válida en el dominio $(1,2)$ y satisface

\int_{1}^{2} F (X) d X = 1

$\int_{1}^{2}f(x)dx=1$ otra vez dejando

A = 4

$A=4$ , esto se convierte

A f (A x) = f (x)

$Af(Ax)=f(x)$ en

4 * \frac{3}{7} (4 x)^{2} = \frac{3}{7} x^{2}

$4*\frac{3}7(4x)^2=\frac{3}7x^2$ , lo que obviamente no es cierto de nuevo. Del mismo modo, si

f (4 x)

$f(4x)$ podría significar un factor de extensión de escala

\frac{1}{4}

$\frac{1}4$ Paralelo a

x

$x$ -el eje podría girar

A f (A x) = f (x)

$Af(Ax)=f(x)$ en

4 * \frac{3}{7} (\frac{1}{4} x)^{2} = \frac{3}{7} x^{2}

$4*\frac{3}7(\frac{1}4x)^2=\frac{3}7x^2$ lo cual es claramente falso.

Si todo lo que he dicho hasta ahora es correcto, acabo de demostrar que no existe una función de densidad de probabilidad. $f(x)$ que satisface la Propiedad de Invariante de Escala para Funciones de Densidad de Probabilidad: $f(Ax)=\frac{1}Af(x)$ . Desde que no $f(x)$ satisface que la fórmula parece que acabo de demostrar que la fórmula es incorrecta (aunque la derivación es correcta; consulte http://nrich.maths.org/5937/solution ). ¿Que me estoy perdiendo aqui?

Gracias de antemano.

Esta URL: http://nrich.maths.org/5937 es para el sitio de Matemáticas de Cambridge del NRICH, y lo llevará a la pregunta y respuesta completa de la que trata esta publicación.

Atentamente

RESPLANDOR

Tienes razón, lo siento, un error muy estúpido de mi parte, es descaradamente obvio que no soy estadístico, gracias por señalarlo. Eche otro vistazo: he cambiado el dominio para que

\int_{} F (X) d X = 1

$\int_{}f(x)dx=1$ está definitivamente satisfecho esta vez. Entonces, ¿por qué no hay igualdad para

A f (A x) = f (x)

$Af(Ax)=f(x)$ ?

usuario856

A f (A x) = f (x)

$Af(Ax)=f(x)$ es una propiedad de las funciones de distribución de probabilidad invariantes de escala . Si no es cierto para su

f

$f$ , eso solo significa que su

f

$f$ no es invariante de escala.

RESPLANDOR

Gracias por su respuesta, pero dado que todas las leyes de potencia son invariantes a escala, incluidas

x^{0}

$x^0$ *(1/6) mi ejemplo la f en mi pregunta debe ser

usuario856

Reflexionando más, tienes razón y la página web está equivocada. La distribución de Pareto es una distribución de probabilidad invariante de escala que satisface

f (A x) = k f (x)

$f(Ax)=kf(x)$ para

k \neq 1 / A

$k\ne1/A$ .

RESPLANDOR

Sí, creo que tienes razón, creé otro ejemplo, esta vez una potencia de x, y todavía no satisface la propiedad. ¿Por qué la derivación es correcta aunque no

f (x)

$f(x)$ lo satisface?

cristian blatter

Su problema no tiene nada que ver con la invariancia de escala. Viene de denotar diferentes

f

$f\,$ 's (el

f_{[m]}

$f_{[{\rm m}]}$ y el

f_{[f t]}

$f_{[{\rm ft}]}$ ) con la misma letra

f

$f$ .

usuario147263

Una forma de salir de esta confusión es usar más palabras y asignar un significado más preciso a los símbolos. Por ejemplo: uso

X

$X$ (no

x

$x$ ) para que la variable aleatoria la distinga del argumento de

f

$f$ . Y tal vez escribir en términos como "si

f

$f$ es el pdf og

X

$X$ , entonces el pdf de

A X

$AX$ es

g (x) = \frac{1}{A} f (x / A)

$g(x) = \frac{1}{A}f(x/A)$ . .... Por último, evite las mayúsculas y palabras como "por favor", "ayuda", etc. en el título. El título debe describir de qué se trata la pregunta, no cuánto necesita ayuda.

usuario856

Bueno... la pregunta solía ser específicamente sobre distribuciones de probabilidad invariantes de escala, no sobre escalar distribuciones de probabilidad arbitrarias en general. Ver, por ejemplo, el enlace al final de la publicación. No estoy convencido de que el título editado coincida con la intención del OP.

Respuestas (3)

Expresar la función de densidad de probabilidad de AxAxAx en términos de la función de densidad de probabilidad de xxx

Tienes razón, lo siento, un error muy estúpido de mi parte, es descaradamente obvio que no soy estadístico, gracias por señalarlo. Eche otro vistazo: he cambiado el dominio para que $\int_{} F (X) d X = 1$ $\int_{}f(x)dx=1$ está definitivamente satisfecho esta vez. Entonces, ¿por qué no hay igualdad para $Af(Ax)=f(x)$ ?
$Af(Ax)=f(x)$ es una propiedad de las funciones de distribución de probabilidad invariantes de escala . Si no es cierto para su $f$ , eso solo significa que su $f$ no es invariante de escala.
Gracias por su respuesta, pero dado que todas las leyes de potencia son invariantes a escala, incluidas $x^0$ *(1/6) mi ejemplo la f en mi pregunta debe ser
Reflexionando más, tienes razón y la página web está equivocada. La distribución de Pareto es una distribución de probabilidad invariante de escala que satisface $f(Ax)=kf(x)$ para $k\ne1/A$ .
Sí, creo que tienes razón, creé otro ejemplo, esta vez una potencia de x, y todavía no satisface la propiedad. ¿Por qué la derivación es correcta aunque no $f(x)$ lo satisface?
Su problema no tiene nada que ver con la invariancia de escala. Viene de denotar diferentes $f\,$ 's (el $f_{[{\rm m}]}$ y el $f_{[{\rm ft}]}$ ) con la misma letra $f$ .
Una forma de salir de esta confusión es usar más palabras y asignar un significado más preciso a los símbolos. Por ejemplo: uso $X$ (no $x$ ) para que la variable aleatoria la distinga del argumento de $f$ . Y tal vez escribir en términos como "si $f$ es el pdf og $X$ , entonces el pdf de $AX$ es $g(x) = \frac{1}{A}f(x/A)$ . .... Por último, evite las mayúsculas y palabras como "por favor", "ayuda", etc. en el título. El título debe describir de qué se trata la pregunta, no cuánto necesita ayuda.
Bueno... la pregunta solía ser específicamente sobre distribuciones de probabilidad invariantes de escala, no sobre escalar distribuciones de probabilidad arbitrarias en general. Ver, por ejemplo, el enlace al final de la publicación. No estoy convencido de que el título editado coincida con la intención del OP.

JimmyK4542 · Answer 1

El problema aquí es que estás usando $f$ para denotar el pdf de $X$ así como el pdf de $AX$ . Sin embargo, las fdp son dos variables aleatorias $X$ y $AX$ son funciones diferentes.

Dejar $f_X(x)$ denote el pdf de $X$ y deja $f_Y(y)$ denote el pdf de $Y = AX$ .

el CDF de $X$ es $F_{X}(x) = \Pr[X \le x] = \displaystyle\int_{-\infty}^{x}f_X(x)\,dx$ .

el CDF de $Y$ es $\displaystyle\int_{-\infty}^{y}f_Y(y)\,dy = F_Y(y) = \Pr[Y \le y] = \Pr[AX \le y] = \Pr[X \le \tfrac{y}{A}] = F_X(\tfrac{y}{A})$ .

Ahora, diferencie ambos lados para obtener $f_Y(y) = \dfrac{1}{A}f_X(\tfrac{y}{A})$ .

Para obtener esto en la forma que tiene, sustituya $y = Ax$ Llegar $Af_Y(Ax) = f_X(x)$ .

Urgje · Answer 2

Creo que la confusión surge por el hecho de que $f(x)$ debe ser una función de densidad de probabilidad. De este modo $f(x)\geqslant 0$ y

\int d X F (X) = 1.

$\begin{equation*} \int dxf(x)=1. \end{equation*}$ deja ahora

F (A X) = k F (X) .

$\begin{equation*} f(Ax)=kf(x). \end{equation*}$ Ahora

\int d X F (A X) = \frac{1}{A} \int d X F (X) = \frac{1}{A}

$\begin{equation*} \int dxf(Ax)=\frac{1}{A}\int dxf(x)=\frac{1}{A} \end{equation*}$ y

\int d X F (A X) = k \int d X F (X) = k .

$\begin{equation*} \int dxf(Ax)=k\int dxf(x)=k. \end{equation*}$ Por lo tanto, la función escalada solo puede ser una función de densidad de probabilidad si

k = 1 / A

$k=1/A$ . Así, este requisito fija

k

$k$ .

Sus ejemplos no son funciones de densidad de probabilidad. Para este último, la integral sobre todo el espacio debe ser 1, lo que no es el caso para $f(x)=x^2$ .
Hola, lo he pensado un poco más a la luz de tu explicación. Por favor, vuelva a mirar mi pregunta ahora y vea si puede decirme qué estoy haciendo mal. Gracias.

Wecac · Answer 3

Por cierto; soy consciente de que $f(4x)$ podría significar un factor de extensión de escala $\frac{1}4$ Paralelo a $x$ -el eje podría girar $Af(Ax)=f(x)$ en $4*\frac{1}4*\frac{1}6=\frac{1}6$ y lo he rechazado como respuesta desde $f(x)=\frac{1}6$ tiene dominio $1\leq\ x\leq7$ , pero la función $f(4x)$ por otro lado, solo se define cuando $1\leq\ 4x\leq7$ , o $\frac{1}4\leq\ x\leq\frac{7}4$ , entonces las dos funciones $f(x)$ y $f(4x)$ no tienen el mismo dominio, entonces $f(4x)$ no puede ser un múltiplo constante de $f(x)$ .

En el argumento anterior, se perdió el hecho de que el dominio de la nueva función de densidad de probabilidad también se escala en consecuencia. Suponga que estaba midiendo algo en metros y tenía la probabilidad de que la medida se distribuyera dentro del dominio de 1 ma 7 m, luego, si cambia su sistema de medida a centímetros, el dominio cambiará a [100 cm, 700 cm]. Como sugieren las otras respuestas, la confusión se debe al uso del mismo símbolo para ambas funciones (antes de escalar y después de escalar).

Caso 2 Siguiendo el consejo de otras respuestas, deberíamos denotar diferentes funciones de probabilidad con diferentes símbolos. Dejar $y = Ax$ dónde $x$ es una variable aleatoria con densidad de probabilidad $f_X(x) = \frac{3}{7}x^2$ y dominio $[1,2]$ . Usando el resultado de la invariancia de escala, la densidad de probabilidad de $y$ es $f_Y(y) = \frac{1}{A}f_X(x)=\frac{1}{A}f_X(\frac{y}{A})$ con dominio $[A, 2A]$ . Usando $A=4$ , tenemos $f_Y(y) = \frac{1}{4}(\frac{3}{7}(\frac{y}{4})^2)$ . Ahora, podemos comprobar la igualdad en cualquier punto. $x=\frac{3}{2} \in [1, 2]$ . $f_X(x) = \frac{3}{7}*\frac{9}{4}$ mientras $f_Y(4*\frac{3}{2}) = \frac{1}{4}*\frac{3}{7}*\frac{9}{4}$ . Para los valores calculados $4*f_Y(4*\frac{3}{2}) = f_X(\frac{3}{2})$ es verdad.

Expresar la función de densidad de probabilidad de AxAxAx en términos de la función de densidad de probabilidad de xxx

RESPLANDOR

RESPLANDOR

usuario856

RESPLANDOR

usuario856

RESPLANDOR

cristian blatter

usuario147263

usuario856

Respuestas (3)

JimmyK4542

Urgje

Urgje

RESPLANDOR

Wecac

Uso inesperado de la linealidad de la expectativa con variable aleatoria indicadora en problemas

Apostar por la aparición de HHT o HTH en una serie de lanzamientos de monedas

Encontrar la altura y la probabilidad de una función de densidad de probabilidad

Intuición detrás de la fórmula de longitud de arco

¿Cómo verificar la propiedad universal al construir la compactación de Stone-Čech?

¿Por qué los límites de esta integral no consideran ambas igualdades?

¿Por qué el método abreviado para verificar la diferenciabilidad no funciona aquí?

¿Cuál es la probabilidad de que esté vivo dentro de un mes?

Raíces repetidas de una función

¿Cuál es la probabilidad de que una caminata aleatoria que comienza en 0 llegue a +2 en 2 pasos, 3 pasos, 4 pasos, etc.? [duplicar]