Apostar por la aparición de HHT o HTH en una serie de lanzamientos de monedas

Question

Apostar por la aparición de HHT o HTH en una serie de lanzamientos de monedas

Jaim

Supongamos que apostamos a los resultados de los lanzamientos de monedas de la siguiente manera. Cada uno de nosotros elige una serie diferente de tres lanzamientos, y lanzamos una moneda hasta que tres lanzamientos consecutivos, en orden, coincidan con su elección o la mía. Por ejemplo, puede elegir HHT mientras yo elijo HTH, y cambiamos hasta HHT o HTH.

¿Es más probable que gane uno de nosotros?

Mi amigo Shimon argumenta lo siguiente. Si eliges HHT y yo elijo HTH, una larga serie de lanzamientos tarde o temprano incluirá HH, los primeros dos lanzamientos de tu elección; y en ese momento has ganado, porque no hay forma de que los lanzamientos posteriores puedan producir mi racha de HTH antes de que produzca tu racha de HHT. Pero no existe una situación correspondiente para el otro lado; Si HT, los dos primeros lanzamientos de mi elección, surgen, aún es posible que ganes, porque los próximos lanzamientos podrían ser THHT, de modo que los seis lanzamientos HTTHHT serían otra victoria para ti.

Considero esto una tontería total. Es obvio que es probable que los próximos tres lanzamientos sean HHT, HTT o cualquiera de los otros seis conjuntos posibles de tres lanzamientos. Su enfoque de preguntar si las ganancias son posibles dadas ciertas cadenas de lanzamientos pasados es alucinante, trabaja sin ningún espacio de muestra claro y desafía las matemáticas.

Sugerí una simulación. La simulación que produje es una hoja de cálculo de Excel que voltea conjuntos de 65 vueltas. En cada conjunto, encuentra el primer lanzamiento que comienza con tu elección o la mía, y asigna un ganador. La siguiente captura de pantalla muestra esa simulación.

El azul se asocia con HHT y el rosa se asocia con HTH. En el primer set, HHT comenzó en los giros 2, 10, 16, 20, 29, 36 y 50. HTH comenzó en los giros 3, 5, 11, 13, 21 y 51. Debido a que HHT surgió primero, hay un 1 en azul. barra vertical junto al primer conjunto. Como puede ver, HHT ganó 8 juegos de los 10 juegos que se muestran en la imagen.

En mi pequeño experimento, HHT ganó con mucha más frecuencia y, a menudo, por márgenes dramáticos.

Miré alrededor de este intercambio de pila y encontré algunas preguntas casi exactamente como las mías, como esta y esta , y varias preguntas al menos muy similares a las mías, como esta y esta .

Todos parecen creer que Shimon tiene razón y algunas secuencias son más probables que otras. Pero a pesar de esa aparente (aunque no claramente expresada) unanimidad, ya pesar de mi propia simulación, simplemente no puedo creerlo. Obviamente, todos los conjuntos posibles de tres lanzamientos son igualmente probables.

Entonces, supongo que mi pregunta es, ¿alguien puede explicar esto a un nivel más intuitivo, llegando al error que me está engañando a mí o (todavía creo) a Shimon?

lulú

Esto se llama Penney's Game y hay mucha información al respecto en línea.

lulú

Como un caso obvio que podría ayudar a la intuición, supongamos

A

$A$ elige

T T T

$TTT$ y

B

$B$ elige

H T T

$HTT$ . Entonces convéncete de que la única manera

A

$A$ posiblemente pueda ganar si sale la moneda

T T T

$TTT$ inicialmente, por lo que

A^{'} s

$A's$ la posibilidad de ganar es solo

\frac{1}{8}

$\frac 18$ .

hierba steinberg

Comience con HH, el siguiente lanzamiento H es malo, pero luego seguido de una T le da a HHT una victoria. Sin embargo, comience con HT seguido de una T (malo), pero ninguno puede ganar en el siguiente lanzamiento.

gerry myerson

Sin duda, esto se ha preguntado y respondido en este sitio antes, probablemente varias veces. Por ejemplo, math.stackexchange.com/questions/3853515/… y math.stackexchange.com/questions/954395/… y math.stackexchange.com/questions/3856649/… y math.stackexchange.com/questions/3390215/…

Jaim

@lulu Entonces, si 8 personas toman cada una de las 8 cuerdas posibles y todos jugamos juntos, ¿quién ganará la mayor cantidad de juegos?

lulú

Esa es una pregunta diferente. Cada

3

$3$ es igualmente probable que surja una cadena de caracteres, por lo que el juego es justo (pero no terriblemente interesante). Estudie el ejemplo que le di, o busque cualquiera de las referencias en línea.

Jaim

@lulu No sé cómo reconciliar sus afirmaciones de que (1) TTT vencerá a HTT en solo 1 juego de 8 y (2) es igualmente probable que surja cada cadena de 3 caracteres. Espero que alguien aquí se aventure fuera de las aguas seguras de la jerga y la notación para explicar el resultado contrario a la intuición de manera más intuitiva.

el espacio es verde oscuro

@Chaim Literalmente, la única forma en que TTT vence a HTT es que los primeros tres lanzamientos sean TTT. Si los primeros tres lanzamientos son otra cosa, HTT ganará. No hay nada que conciliar... el ganador no se decide por la secuencia de tres vueltas que es más probable en el vacío.

marcavs

Tienes toda la razón: esto es una tontería total. Si tú y Shimon no tienen nada más que hacer, mira el comienzo de "Rosencrantz y Guildenstern están muertos".

JMoravitz

" ...trabajando sin ningún espacio muestral claro y desafiando las matemáticas ". El espacio muestral es claro, sin embargo... es el espacio de todas las secuencias de lanzamientos de monedas que terminan en HHT o HTH. Los elementos de NB dentro de este espacio de muestra no son igualmente probables, sino que tienen una probabilidad correspondiente a su longitud.

solo la mitad

@Chaim se discute y responde un problema similar en Puzzling , sobre la intuición. En ese rompecabezas, si hay 12! jugadores, cada uno tomando una permutación diferente, entonces cada uno de ellos tiene la misma probabilidad de ganar (al igual que cuando tienes 8 jugadores, cada uno tiene la misma probabilidad de ganar). Pero si solo tienes 2 jugadores, uno puede tener ventaja.

Jaim

@markvs He visto ese programa varias veces, ya sea en vivo o en Memorex. Mi opinión sobre el lanzamiento de monedas fue que cuando R&C no interactúan con la trama de Hamlet, el tiempo no pasa para ellos; son simplemente dispositivos en la historia de Hamlet. El lanzamiento ininterrumpido del mismo lado de la moneda a través de esa gran cantidad de intentos simbolizó la idea de que es esencialmente solo un lanzamiento de moneda, y pasan su eternidad en el limbo en el momento de ese lanzamiento.

Respuestas (4)

Apostar por la aparición de HHT o HTH en una serie de lanzamientos de monedas

Esto se llama Penney's Game y hay mucha información al respecto en línea.
Como un caso obvio que podría ayudar a la intuición, supongamos $A$ elige $TTT$ y $B$ elige $HTT$ . Entonces convéncete de que la única manera $A$ posiblemente pueda ganar si sale la moneda $TTT$ inicialmente, por lo que $A's$ la posibilidad de ganar es solo $\frac 18$ .
Comience con HH, el siguiente lanzamiento H es malo, pero luego seguido de una T le da a HHT una victoria. Sin embargo, comience con HT seguido de una T (malo), pero ninguno puede ganar en el siguiente lanzamiento.
Sin duda, esto se ha preguntado y respondido en este sitio antes, probablemente varias veces. Por ejemplo, math.stackexchange.com/questions/3853515/… y math.stackexchange.com/questions/954395/… y math.stackexchange.com/questions/3856649/… y math.stackexchange.com/questions/3390215/…
@lulu Entonces, si 8 personas toman cada una de las 8 cuerdas posibles y todos jugamos juntos, ¿quién ganará la mayor cantidad de juegos?
Esa es una pregunta diferente. Cada $3$ es igualmente probable que surja una cadena de caracteres, por lo que el juego es justo (pero no terriblemente interesante). Estudie el ejemplo que le di, o busque cualquiera de las referencias en línea.
@lulu No sé cómo reconciliar sus afirmaciones de que (1) TTT vencerá a HTT en solo 1 juego de 8 y (2) es igualmente probable que surja cada cadena de 3 caracteres. Espero que alguien aquí se aventure fuera de las aguas seguras de la jerga y la notación para explicar el resultado contrario a la intuición de manera más intuitiva.
@Chaim Literalmente, la única forma en que TTT vence a HTT es que los primeros tres lanzamientos sean TTT. Si los primeros tres lanzamientos son otra cosa, HTT ganará. No hay nada que conciliar... el ganador no se decide por la secuencia de tres vueltas que es más probable en el vacío.
Tienes toda la razón: esto es una tontería total. Si tú y Shimon no tienen nada más que hacer, mira el comienzo de "Rosencrantz y Guildenstern están muertos".
" ...trabajando sin ningún espacio muestral claro y desafiando las matemáticas ". El espacio muestral es claro, sin embargo... es el espacio de todas las secuencias de lanzamientos de monedas que terminan en HHT o HTH. Los elementos de NB dentro de este espacio de muestra no son igualmente probables, sino que tienen una probabilidad correspondiente a su longitud.
@Chaim se discute y responde un problema similar en Puzzling , sobre la intuición. En ese rompecabezas, si hay 12! jugadores, cada uno tomando una permutación diferente, entonces cada uno de ellos tiene la misma probabilidad de ganar (al igual que cuando tienes 8 jugadores, cada uno tiene la misma probabilidad de ganar). Pero si solo tienes 2 jugadores, uno puede tener ventaja.
@markvs He visto ese programa varias veces, ya sea en vivo o en Memorex. Mi opinión sobre el lanzamiento de monedas fue que cuando R&C no interactúan con la trama de Hamlet, el tiempo no pasa para ellos; son simplemente dispositivos en la historia de Hamlet. El lanzamiento ininterrumpido del mismo lado de la moneda a través de esa gran cantidad de intentos simbolizó la idea de que es esencialmente solo un lanzamiento de moneda, y pasan su eternidad en el limbo en el momento de ese lanzamiento.

bof · Answer 1

Digamos que apuesto por HHT y usted apuesta por HTH. Afirmo que las probabilidades son $2$ a $1$ a mi favor.

Míralo de esta manera. Tarde o temprano, la moneda saldrá H por primera vez. Consideremos lo que sucede en los próximos dos lanzamientos después de esa primera cara. Hay cuatro casos.

HHT Yo gano.
HHH yo gano; tarde o temprano la moneda saldrá T.
HTH Tú ganas.
HTT Empezamos de nuevo.

La siguiente parábola puede o no iluminar el error en su forma de pensar.

Un tren subterráneo sigue una ruta circular, deteniéndose a su vez en las estaciones A, B, C, . . . X, Y, Z, A, B, C, . . . Tú y tu amigo se tambalean a bordo y se quedan dormidos. Algún tiempo después, ambos se despiertan, entre estaciones, sin tener idea de dónde se subieron o dónde se encuentran ahora.

Tu: Me pregunto donde estamos. Me bajo en Q.

Tu amigo: Te apuesto diez dólares a que llegamos a mi parada antes que a la tuya.

Tu: Hmmm. Una estación es tan probable como otra. Esa es una apuesta justa. Estás en. ¿Cuál es tu parada?

Tu amigo: P.

bram28 · Answer 2

Siento tu dolor: estás recibiendo muchos argumentos que explican por qué tu amigo tiene razón y enlaces a publicaciones anteriores de intercambio de pila que también están del lado de la conclusión de tu amigo. ¡Incluso tus propias simulaciones confirman que tu amigo tiene razón! Sin embargo, ¿qué (si es que hay algo) está mal con su razonamiento de lo contrario?!? Los argumentos y hallazgos proporcionados pueden mostrar que su razonamiento es incorrecto, pero ninguno de ellos explica por qué o dónde es incorrecto su razonamiento. Así que, en lugar de proporcionar otro argumento por el cual el razonamiento de tu amigo es correcto, déjame ver si puedo llegar al corazón de por qué tu razonamiento es incorrecto.

Creo que lo que se encuentra en el centro de su razonamiento es la idea de que "en cualquier punto de una larga secuencia de caras y cruces, cualquier secuencia específica de tres caras y cruces es tan posible como cualquier otra".

Y sí, eso es cierto en el sentido de que si comienzas en ese punto X en la secuencia y solo miras las siguientes tres entradas de esa secuencia. De hecho, esto es como cuando dices:

Es obvio que es probable que los próximos tres lanzamientos sean HHT, HTT o cualquiera de los otros seis conjuntos posibles de tres lanzamientos.

Sin embargo, si una secuencia específica de tres aparecerá antes que otra secuencia de tres también depende de las entradas que tengas antes de ese punto X. Así obtenemos el razonamiento de tu amigo: si los dos últimos resultados que obtuviste antes de X fueron ambos caras, entonces la próxima entrada podría terminar el juego en ese mismo momento.

Por lo tanto, su error podría verse como el resultado de una ambigüedad en la afirmación de "obtener una secuencia específica desde algún punto". Nuevamente, si quiere decir que este es el evento de obtener una secuencia específica comenzando desde un punto de la secuencia , entonces tiene razón: comenzando en ese punto de la secuencia, es tan probable que aparezca cualquier secuencia como cualquier otra. Pero lo que buscamos es el evento de obtener una secuencia específica desde ese punto del juego . Y, en cualquier punto del juego, los resultados que sucedieron antes de llegar al punto de la secuencia en el que te encuentras en ese punto del juego marcan la diferencia. Creo que la fusión de estos dos sentidos diferentes de 'a partir de ese momento' se encuentra en el corazón del error en su razonamiento.

Evargalo · Answer 3

Su intuición es correcta en cuanto a que aparecerán tantos HTH como HHT en una secuencia suficientemente larga. Si cuentas esas ocurrencias en tus simulaciones, puedes confirmar ese resultado, y si juegas con tu amigo un juego (aburrido) de "lanzamos una moneda 1000 veces, contamos cuántos HHT y cuántos HTH hay, y quien sea". tiene la mayor cantidad de victorias", este es un juego justo.

Sin embargo, lo que estás jugando es un juego diferente: estás jugando "qué secuencia viene primero"; y este juego no es justo.

No ganas cada vez que aparece HTH: Ganas cuando aparece HTH y HHT aún no ha aparecido . Tu oponente gana cuando aparece HHT y HTH aún no ha aparecido .

La clave aquí es ver que los eventos (los casos ganadores) no son independientes . HHT y HTH aparecen con la misma frecuencia, pero la mitad de las veces HTH aparece solo un giro después de HHT.

Como sugerencia para ayudar a tu intuición, supongamos que nadie gana en los primeros tres lanzamientos de moneda (esto elimina 1/4 de los intentos, la mitad de ellos gana y la otra mitad pierde). Ahora considera el primer HTH de la secuencia y pregúntate cuál fue el flip anterior:

La mitad de las veces, será una H, formando el patrón...HHTH. ¡Perdiste porque HHT apareció solo una posición antes que HTH!
La mitad del tiempo, será una T, haciendo el patrón...THTH. Todo depende de si HHT se encuentra de antemano o no. Puedes ganar, o no.

La simetría se rompe porque los dos patrones HHT y HTH no son independientes. Los cálculos en las otras respuestas son correctos: las probabilidades están en tu contra 2:1.

Y si quieres engañar a tu oponente, ofrece un juego de "qué secuencia viene en segundo lugar"...

bram28 · Answer 4

Ya publiqué una posible explicación de dónde y cómo tu intuición te está desviando, pero tal vez lo que estás haciendo es esto:

Nuevamente, señala correctamente que en cualquier ubicación específica de cualquier secuencia larga, es tan probable que ocurra una secuencia específica como cualquier otra. Esto también implica que el número de esas subsecuencias que obtienes dentro de cualquier secuencia más larga es exactamente el mismo para cualquier subsecuencia.

[esto es algo que puede confirmar con sus simulaciones: debe obtener (ignorando las pequeñas variaciones aleatorias) tantos HHT como HTH en todas las secuencias que miró].

Como tal, ciertamente tiene sentido intuitivo que la primera ubicación promedio de cualquier subsecuencia dentro de una secuencia más grande no difiera entre las diferentes subsecuencias: hay tantos HTH como HHT, por lo que si simplemente los esparcimos aleatoriamente en la secuencia más grande, entonces ¿Por qué uno, en promedio, aparecería antes que cualquier otro?

Esto parece estar en la línea de su razonamiento, pero desafortunadamente no funciona.

Como muestra la Respuesta de @Evargalo: los eventos de HHT y HTH que ocurren en una secuencia larga no son independientes. Pero también es cierto que el evento de un evento HTH que ocurre en una secuencia larga tampoco es independiente de la ocurrencia de un segundo HTH, porque una vez que tiene una ocurrencia HTH, ya tiene la primera H de un segundo evento HTH. De hecho, lo que sucede como resultado es que todas las ocurrencias de HTH en una secuencia tenderán a estar más agrupadas/agrupadas en comparación con las ocurrencias de eventos de HHT

[Nuevamente, esto es algo que también podría intentar y cuantificar en sus simulaciones, pero con solo mirar su gráfico, creo que puede ver que los eventos HTH están más agrupados que los eventos HHT ... pero también tienen tramos más largos de no tener tales ocurrencias en el medio... por lo que podría ver la desviación estándar de las distancias de sus ocurrencias: debería encontrar que para HTH eso es más alto que para HHT]

Por otro lado, debido a que no hay superposición posible entre dos secuencias HHT, sus ocurrencias se 'empujarán' entre sí y se distribuirán de manera más uniforme. Y, como resultado de eso, es lógico pensar que la aparición del primer evento HTH estaría más avanzada en la secuencia que el primer evento HHT.

Apostar por la aparición de HHT o HTH en una serie de lanzamientos de monedas

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