Intuición detrás de la fórmula de longitud de arco

Divide el intervalo en$n$a partes iguales,$a = x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_n = b$, con$x_{i+1} = x_i + \Delta x_i$.

Suponga que desea aproximar la curva entre$(x_i,f(x_i))$y$(x_i+\Delta x,f(x_i+\Delta x))$. Simplemente podría aproximarlo con la línea recta entre los dos puntos, cuya longitud es

$$\sqrt{\left( f(x_i+\Delta x) - f(x_i)\right)^2 + (\Delta x)^2}.$$ En la imagen de abajo, la línea negra es el gráfico.$y=f(x)$, y la línea verde es la línea que une$(x_i,f(x_i))$en la parte inferior izquierda y$(x_1+\Delta x,f(x_1+\Delta x))$en la parte superior derecha. Entonces tendrías que la longitud del arco se aproxima por la suma de las longitudes $$\text{Arc Length} \approx \sum_{i=1}^n \sqrt{(f(x_i+\Delta x) - f(x_i)))^2 + (\Delta x)^2}$$ y tome el límite como$n\to \infty$. Desafortunadamente, la expresión en la suma no tiene la forma necesaria para verla como una suma de Riemann, por lo que no puede convertir ese límite en un límite de las sumas de Riemann, y de ahí en una integral.

Así que tomamos un enfoque ligeramente diferente. En lugar de aproximar la longitud de la curva de$(x_i,f(x_i))$a$(x_i+\Delta x, f(x_i+\Delta x))$con la recta entre los dos puntos, la aproximaremos con la recta tangente a la gráfica de$f$en$x_i$, de$(x_i,f(x_i))$al punto$x_i+\Delta x$. Esta es la línea azul en la imagen de arriba.

Si$\Delta x$es pequeña, entonces sabemos que la línea tangente es una muy buena aproximación para la curva en$[x_i,x_i+\Delta x]$, por lo que la línea será una buena aproximación a la longitud de la curva.

Ahora, la recta tangente a$y=f(x)$a través del punto$x_i$es dado por

$$y = f(x_i) + f'(x_i)(x-x_i).$$ En$x_i+\Delta x$, la línea pasa$f(x_i) + f'(x_i)\Delta x$. Así que esta línea tangente va desde$(x_i,f(x_i))$a$(x_i+\Delta x ,f(x_i)+f'(x_i)\Delta x)$. La longitud de la línea entre esos dos puntos es $$\begin{align*} &\sqrt{\Bigl( (x_i+\Delta x) - x_i\Bigr)^2 + \Bigl((f(x_i)+f'(x_i)\Delta x) - f(x_i)\Bigr)^2}\\\ &\quad = \sqrt{ (\Delta x)^2 + \left(f'(x_i)\Delta x\right)^2} \\\ &\quad = \sqrt{\left(1 + \left(f'(x_i)\right)^2\right)\Delta x^2} = \left(\sqrt{1 + (f'(x_i))^2}\right)\Delta x. \end{align*}$$

Sumando todo esto, obtenemos una aproximación a la longitud del arco:

$$\text{Arc Length} \approx \sum_{i=1}^n \left(\sqrt{1 + (f'(x_i))^2}\right)\Delta x.$$ Ahora, estos pueden verse como sumas de Riemann. Entonces, si tomamos el límite como$n\to\infty$, la aproximación es cada vez mejor (porque la tangente se acerca cada vez más a la curva, dando una mejor aproximación). En el límite, obtenemos la longitud de arco exacta y el límite de las sumas de Riemann se convierte en la integral. Entonces $$\begin{align*} \text{Arc Length} &= \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\left(\sqrt{1 + (f'(x_i))^2}\right)\Delta x\\\ &= \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.{}{}{} \end{align*}$$

En cambio, podría ayudar pensar en nuestra función como una curva parametrizada en el plano. En otras palabras, considere la curva$(x(t), y(t))$para$t\in[a,b]$. Entonces está claro que el diferencial$ds$que se encuentra a lo largo de la curva está dada por$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$.

Ahora integramos$ds$con respecto a$t$y la integral se convierte en$\displaystyle \int_a^b{\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}}dt$.

Su fórmula sigue estableciendo$x(t)=t$, y$y(t)=f(t)$.