¿Explicación intuitiva de por qué la simetría del tiempo implica la conservación de la energía?

Aquí hay una manera más fácil de pensar en esto.

Imagina que las leyes de la física pudieran depender del tiempo, y haces arreglos para que la ley de la gravedad se apague en la tarde de un jueves por lo demás muerto.

Anticipándose a este evento útil, tiene una máquina configurada que usa pesos que caen para realizar un trabajo útil, y una pila de pesos listos para colocar dentro de un contenedor montado muy por encima de la máquina, desde donde se alimentan hacia abajo.

Luego llega el jueves, y con la gravedad apagada, es fácil para usted levantar todos esos pesos y colocarlos en el contenedor. Más tarde esa tarde, cuando la gravedad vuelve a funcionar, enciende la máquina y produce un trabajo útil, que no le cuesta nada porque la gravedad estaba apagada mientras cargaba la máquina con pesas.

De esta manera, encender y apagar la gravedad le permite violar la conservación de energía.

Tiene razón en que la invariancia temporal de las leyes no requiere la conservación de la energía.

Es un malentendido común del contenido del teorema de Noether. No se trata de que "las leyes de la física sean independientes del tiempo", lo que implica que "el concepto físico de energía se conserva". Esas son declaraciones coloquiales simplificadas que son fáciles de decir y recordar, pero son inexactas. Hay dos problemas con formulaciones tan perezosas.

Primero, puedo tener la ley de la física invariante en el tiempo de que cada partícula experimenta tanto la fuerza elástica de Hooke$-kx_k$y fuerza de rozamiento$-\gamma m \dot{x}_k$. Tal ley de la física significaría que el concepto físico de energía no se conserva (debido a la fuerza de fricción). Puede ver que esta ley física hipotética es invariable en el tiempo, pero la energía no se conserva. Entonces, no podemos formular el teorema de Noether de esa manera: no funciona.

En segundo lugar, el teorema de Noether no dice "el concepto físico de energía se conserva", sino que "hay una cantidad conservada correspondiente basada en la expresión de acción y la transformación que deja$S$invariante, su interpretación está en ti, puede ser energía, o no".

Formulemos el teorema de Noether para el caso especial de invariancia de cambio de coordenadas de tiempo. Necesitamos una expresión para la integral de acción, por ejemplo la expresión

$$S(t_0) = \int_{t_0}^{t_0 + \Delta t} L~ dt'$$

dónde$L$es alguna función de coordenadas y sus derivadas. El teorema de Noether establece que si$S$tiene la "simetría" de que las traducciones de tiempo no la cambian (léase:$S$es invariante con respecto al cambio en la coordenada de tiempo$t_0$):

$$\frac{\partial S}{\partial t_0}(t_0) = 0 ~~~\forall t_0,$$ entonces la cantidad

$$Q = \sum_n\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} \dot{q}_k - L$$ no cambia a medida que el sistema evoluciona en el tiempo - es una "constante de movimiento".

Sin embargo, ni el teorema de Noether ni ninguna otra regla general dicen que esta cantidad tiene que ser energía (en el sentido de la física).

Hay ejemplos donde la cantidad$Q$ es energía, como el Lagrangiano de un oscilador armónico

$$\frac{1}{2}m\dot{x}^2 -\frac{1}{2}kx^2$$ y otros ejemplos, donde no es energía, como el Lagrangiano de oscilador armónico amortiguado (Lagrangiano de Havas [1]):

$$L = \frac{2m\dot{x} +kx}{x\sqrt{4mK-k^2}}\tan^{-1}\left(\frac{2m\dot{x} + kx}{x\sqrt{4mK -k^2}} \right) -$$ $$-\frac{1}{2}\ln (m\dot{x}^2 + kx\dot{x} + Kx^2)$$

Entonces, para redondear esto, el teorema de Noether dice que la existencia de simetría de acción implica la existencia de la cantidad conservada correspondiente, punto, punto. La interpretación de estas cantidades a veces es simple (energía total), a veces no (el hamiltoniano de Havas, que se conserva en el tiempo y, por lo tanto, no puede ser energía total).

[1] Havas P., El rango de aplicación del formalismo de Lagrange - I, Nuovo Cim. 5 (suplemento), 363 (1957)

Es fácil imaginar un universo que tenga simetría temporal pero no conservación de energía.

Ciertamente no es fácil para mí. Para mí, la simetría de traducción temporal significa que si comienzo un sistema en algún estado inicial arbitrario$x_0$en algún momento inicial$t_0$, entonces evolucionará de la misma manera independientemente de lo que$t_0$es. Pero dado que la evolución es generada por las ecuaciones de Hamilton, si el sistema evoluciona de manera diferente, entonces$H$debe ser una función diferente de las variables del espacio de fase en diferentes momentos (es decir,$H$es explícitamente dependiente del tiempo). Esencialmente, la misma idea se mantiene en la mecánica lagrangiana, si desea traducir el problema a ese formalismo.

Así que no hay simetría de traducción de tiempo$\implies$ $H$es una función explícita del tiempo, lo que significa que el valor numérico de$H$no se conserva por la evolución del tiempo. Por otro lado, si$H$no es una función explícita de tiempo, entonces el mismo argumento muestra que tendrá simetría de traducción de tiempo.

En la dirección inversa, la presencia de simetría de traducción temporal implica que$\frac{\partial H}{\partial q}$y$\frac{\partial H}{\partial p}$ambos carecen de dependencia temporal explícita. Es posible que$H$contiene alguna dependencia del tiempo como$H(x,p,t) = H_0(x,p) + H_1(t)$, pero$H_1$sería completamente irrelevante para la dinámica del sistema y$H_0=H-H_1$asumiría el papel de la cantidad conservada.

El teorema de Noether es completamente general y facilita la obtención de resultados generales con el mínimo esfuerzo. Sin embargo, su generalidad y sus relaciones con las simetrías a veces se malinterpretan.

Un malentendido típico es que el teorema de Noether es necesario para explorar las relaciones entre simetrías y leyes de conservación. Este no es el caso, como se muestra en la respuesta de Chiral Anomaly a una pregunta relacionada.

De manera similar, es posible relacionar una simetría temporal continua de las leyes mecánicas con la conservación de la energía en todos los formalismos de la mecánica. Suponiendo que las ecuaciones de movimiento de Newton son más familiares, usarlas para explorar la conexión entre la simetría de traslación del tiempo y la conservación de la energía puede arrojar algo de luz sobre una intuición más general.

Al igual que el momento o el momento angular, el punto de partida esencial es identificar correctamente los elementos de la teoría que encarna la invariancia en el tiempo. En la descripción newtoniana, esta es la fuerza. Una fuerza invariante en el tiempo, en general, es una función de las posiciones y velocidades. No puede depender explícitamente del tiempo. Si las fuerzas son conservativas, esto implica que la energía potencial no depende explícitamente del tiempo. Por tanto, derivando con respecto al tiempo, la suma de energía cinética y potencial es trivial para comprobar que la validez de las ecuaciones de movimiento de Newton es equivalente a la conservación de la energía.