Experimento del triple triángulo rectángulo: ¿cuál es la distancia mínima?

Al recorrer un camino "pequeño" en una superficie curva, el ángulo en el que se queda corto viene dado por el teorema local de Guass-Bonnet. Por lo general, el teorema de GB surge en relación con la topología, que involucra integrales sobre toda la variedad. Pero esa es solo una faceta de esto. La versión local que encuentro útil en este momento es:

$\iint_{enclosed} K dA = 2\pi - \sum \gamma_i$

Curvatura$K$es 1/(radio de curvatura) por dimensión, y multiplicamos dos dimensiones. Para una esfera, es constante, por lo que el lado izquierdo es solo$KA$,$A$siendo el área encerrada por su viaje de ruta cerrada.$\gamma_i$es el ángulo de giro en cada punto$i$donde haces un giro. (Para una trayectoria de curvas continuas, habría una integral.) Ir directamente a través de un punto$i$es$\gamma_i=0$.

Si recorres un cuadrado de lado L, con L mucho más pequeño que R, el área es$L^2$(muy cerca de eso). Crees que tendrías cuatro vueltas de 90 grados, sumando 360 (que es $2\pi radianes), pero Gauss-Bonnet dice que no. Harás tres giros de 90 grados, y uno que no es del todo, si recorres un camino cerrado que termina en tu punto de partida. Alternativamente, puede hacer giros estrictos de 90 grados cuatro veces, yendo exactamente a la distancia L para cada lado, y luego medir qué tan lejos termina desde el punto de partida y hacer algunos cálculos adicionales. GB todavía se aplica, solo que no directamente.

En este punto, si tiene una idea de qué tan pequeño es el error angular que puede medir, puede ingresar números.$R_{Earth}$es de aproximadamente 4000 millas (6400 km). Área$A$es$L^2$y$K=1/R^2$. En la Tierra, si hacemos este experimento a una escala razonablemente humana, esperamos unos pocos cientos de metros o unos pocos kilómetros, esperamos cerca del mismo valor para$A$. Digamos que puede medir, o dirigir, con una precisión de medio grado. Eso es 1/100 radianes, aproximadamente. Ya tenemos la intención de hacer cuatro giros ideales de 90 grados (el$2\pi$en la fórmula GB) pero espera medir un pequeño déficit angular

$\delta = 2\pi-\sum \gamma$.

cuando terminamos el viaje en el inicio. Para tener una idea de qué tamaño de viaje debemos hacer, solo configure$\delta = 0.04$para cuatro medidas de dirección buenas a 0,01 radianes. (Una estimación ingenua, no un análisis de error adecuado). Entonces,

${{L^2}\over{R^2}} = 0.04$

Te dejaré tomar una calculadora y marcar los números, y probar un ángulo más preciso.

Tenga en cuenta que este es un cálculo aproximado de "parte posterior del sobre". Se necesitarían matemáticas mejor pensadas para un experimento real.

En una esfera (la Tierra no es una esfera perfecta) el tamaño mínimo para un borde de su triángulo es una línea que subtiende un ángulo de 90º medido desde el centro de la Tierra, es decir, la distancia desde cualquier punto en el ecuador a uno de los postes

El aumento del ángulo interior sobre 180º se conoce como exceso angular o exceso esférico. Consulte este artículo para obtener más información. Podría preguntar sobre el intercambio de matemáticas como sugiere abhishek, pero primero haría una lectura de fondo.