¿Diferencia entre curvatura y curvatura escalar de Ricci?

tu formula$\tau = \frac{dt}{ds}$requiere una corrección, a saber$t$no es cualquier vector tangente antiguo, sino que es el vector tangente de longitud unitaria . Además, esa noción de curvatura, que se conoce como "curvatura geodésica", se aplica solo a curvas (objetos unidimensionales) en el espacio, siendo el único parámetro$s$.

Por otro lado, la curvatura de Ricci se aplica solo a objetos de 2 o más dimensiones en el espacio.

Por lo tanto, no encontrará mucho en el camino de una comparación directa entre esos dos tipos de curvatura.

Aún así, sin embargo, hay algunas comparaciones indirectas en algunas situaciones limitadas. Una conexión particularmente cercana ocurre para una superficie bidimensional$S$en el espacio tridimensional. La curvatura de Ricci en un punto$P \in S$es igual a la curvatura gaussiana (porque en 2 dimensiones no hay nada que contraer en la fórmula de contracción que das). Y la curvatura gaussiana es igual al producto de dos curvaturas geodésicas diferentes, a saber, las llamadas "curvaturas principales", que son los valores máximo y mínimo de$\tau$para curvas de paso$P$.