¿Experimentan los planetas la dilatación del tiempo mientras orbitan alrededor del sol y, de ser así, qué efecto tendría esto en su órbita?

Un satélite que orbita una gran masa experimenta la dilatación del tiempo de dos fuentes:

1. la dilatación gravitacional del tiempo debida al campo gravitatorio de la masa central

2. la dilatación del tiempo relativista especial debido a su velocidad

Si está interesado, muestro cómo calcular el efecto combinado de estas dos fuentes en mi respuesta a ¿Es la dilatación del tiempo gravitacional diferente de otras formas de dilatación del tiempo? pero por ahora vamos a citar el resultado. Para un observador en el planeta, y en comparación con un observador lejos de la estrella, el tiempo corre lento por un factor de:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1-\frac{3GM}{c^2r}}$$

Entonces, por ejemplo, para un satélite que orbita alrededor del Sol a la distancia Tierra-Sol, pondríamos$M$como la masa del Sol y$r$como la distancia Tierra-Sol, y esto nos da:

$$\frac{d\tau}{dt} = 0.999999985$$

Esto resulta ser alrededor de medio segundo al año, es decir, un reloj a la distancia Tierra-Sol pierde alrededor de medio segundo al año en comparación con un reloj lejos del Sol.

Una nota al margen: he hablado de un reloj a la distancia Tierra-Sol en lugar de un reloj en la Tierra porque un reloj en la Tierra funciona más lento que esto. En la Tierra, el campo gravitatorio de la Tierra provoca una dilatación del tiempo adicional además de la dilatación del tiempo provocada por el Sol.

Finalmente, te preguntas:

Si la dilatación del tiempo está presente, ¿afectará la órbita del planeta por pequeña que sea?

y la respuesta es sí , pero es más complicado que eso. La dilatación del tiempo es solo un aspecto de las diferencias entre la relatividad y la mecánica newtoniana. Tendemos a hablar de ello porque es el efecto más fácil de medir. Calcular cómo los efectos relativistas modifican la órbita de un planeta es bastante complicado.

No tiene ningún efecto sobre la órbita si la órbita es circular, pero todos los planetas del sistema solar tienen órbitas que son elípticas, es decir, en un lado de la órbita (el perihelio) están más cerca del Sol que en el otro lado de la órbita (el afelio). Esto significa que en el perihelio los efectos relativistas (incluyendo la dilatación del tiempo) son mayores que en el afelio, y esto afecta la órbita. De hecho es lo que provoca el avance anómalo del perihelio de Mercurio, por lo que tiene un efecto fácilmente observable. Todos los planetas tienen un avance de perihelio anómalo similar, pero el efecto se reduce muy rápidamente a medida que te alejas del Sol, por lo que solo es fácilmente medible para Mercurio.

$\let\D=\Delta$Me opondría principalmente a una palabra utilizada en el título y también repetida por @John Rennie: "experiencia". Mi inglés no es muy bueno, pero creo que este verbo trae consigo un sabor subjetivo, algo que uno puede sentir o experimentar, observarse a sí mismo. Nada podría estar más lejos de lo que realmente sucede.

Las personas que viven en un planeta no tienen sensación de dilatación del tiempo. Viven como de costumbre, pueden hacer experimentos de física que dan los mismos resultados que en cualquier otro lugar del Universo. Solo intercambiando señales con el mundo exterior podían ver algo extraño, pero de diferentes maneras para los dos tipos de dilatación.

En cuanto a la dilatación del RS lo que "verían" es que el tiempo marcado por un lejano reloj "estacionario" se dilata con el suyo. En cambio, observarían una dilatación gravitacional real de sus propios relojes. Pero esto no tiene sentido si no damos una definición exacta de los términos. Consideremos la ecuación de John

$$d\tau/dt = 0.999999985.\tag1$$

El significado exacto es el siguiente. El satélite en órbita trae un reloj, tal vez un reloj atómico para estar seguro de su estabilidad y velocidad. Esto es$\tau$. También debemos suponer que en cualquier parte del espacio hay relojes "estacionarios", que marcan el tiempo de Schwarzschild . Y esto es mucho más difícil de explicar.

Primero, ¿qué quiero decir con "estacionario"? Me refiero a un marco inercial no giratorio. Esto puede garantizarse mediante observaciones astronómicas e intercambio de señales con naves espaciales lejanas. En segundo lugar viene el tiempo de Schwarzschild$t$. Es la época de los relojes estacionarios lejanos, donde "lejano" significa que la influencia gravitacional del Sol puede ser despreciada.

Pero no crea que simplemente podríamos confiar en muchos relojes de cesio para definir el tiempo de Schwarzschild en el vecindario de Sun. No es así, porque esos relojes sufrirían retraso gravitatorio GR. Podemos usar relojes de cesio para estabilizar la frecuencia, pero debemos configurar su funcionamiento (tal vez con un artilugio electrónico). En la práctica, suponga que un reloj maestro lejano está enviando señales, digamos una vez por segundo. Todos los relojes, incluso dentro del sistema solar, se configurarán para que también reciban señales una vez por segundo.

Tenga en cuenta que esto hace que los relojes funcionen, es decir, garantiza que no estén ni adelantados ni retrasados, pero no indica si están adelantados o retrasados. Esto también se puede hacer, es decir, todos los relojes Schwarzschild se pueden sincronizar con el maestro, pero tengo que acortar mi publicación...

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Ahora estamos listos para entender el significado de la ec. (1).$\tau$y$t$han sido definidos, pero eso no es todo. Piensa en algún fenómeno que tenga lugar en nuestro planeta. Podría ser algo simple como la caída de una piedra, o algo más sofisticado. Tendrá un principio y un final. Según reloj local se sucederán en horarios$\tau_1$y$\tau_2$. Definir

$$\D \tau = \tau_2 - \tau_1.$$ El mismo fenómeno también puede ser registrado por esos relojes Schwarzschild que están inmediatamente cerca del reloj del planeta al principio y al final (serán relojes diferentes, ya que el planeta se está moviendo). Dejar$t_1$el tiempo registrado por el reloj al principio,$t_2$el registrado por el otro reloj al final, y puso $$\D t = t_2 - t_1.$$ Entonces estamos en condiciones de calcular$\D\tau/\D t$, y verifique si la ec. (1) es cierto: $$\D\tau/\D t = 0.999999985.$$

Se mantiene, pero de ninguna manera diría que para un observador en el planeta el tiempo corre lento.