Sobre la derivación de la dilatación del tiempo

Desea calcular a qué hora ve cada observador. Mientras O está en reposo con el reloj de luz, simplemente ve la luz ir y venir en$t_O=2d/c$, que es el tiempo de un "tic" del reloj de O.

Ahora vamos al punto de vista de O'. Ve el reloj moviéndose con una velocidad de magnitud$u$. Creo que ahí es donde radica tu confusión. Es O' quien mira el reloj y lo ve moverse, y es ese movimiento el que cambia el comportamiento del reloj. En otras palabras, nos importa cuánta distancia ha recorrido el reloj , según lo visto por O'.

Ahora, queremos calcular cuánto tiempo transcurre en$O'$punto de vista entre dos "ticks" del reloj. Llamemos a esto a partir de un tiempo aún desconocido$t_{O'}$. Lo sabemos, porque el reloj parece estar viajando con velocidad.$u$de acuerdo a$O'$, si esperamos$t_{O'}$el reloj se habrá movido una distancia de$ut_{O'}$.

Haciendo un dibujo, y usando eso$2d=t_O c$, él entiende que :

$$ct_{O'} = \sqrt{((ct_O)^2+(ut_{O'})^2}\Leftrightarrow t_{O'} = \frac{t_O}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$$

Lo que da el resultado esperado, ya que el reloj viaja con una velocidad$u$de acuerdo a$O'$, cuando pasa un segundo según$O$, para$O'$, habrá transcurrido más tiempo. En otras palabras, según$O'$que ve$O$moverse con velocidad u, el reloj parece ir más lento durante$O$.

Para que quede más claro, si$O'$también lleva un reloj, su reloj marcará más rápido que el que sostiene$O$. Por supuesto que podemos invertir el razonamiento, y desde el punto de vista de$O$, el reloj que sostiene marcará más rápido que$O'$, ya que en su punto de vista es$O'$que tiene una velocidad u.

En$O$marco, el tiempo transcurrido entre los tics subsiguientes de los relojes de luz viene dado por el tiempo que la luz recorre la distancia$2d$.

En$O'$marco el tiempo transcurrido entre estos mismos ticks, está dado por el tiempo que la luz pasa la distancia$2d'$en dirección perpendicular a la velocidad de$O$cuadro medido por$O'$más la distancia resultante del movimiento de$O$en la dirección de su velocidad. En$O'$marco, el último está dado por la velocidad de$O$desde el punto de vista de$O'$veces el tiempo transcurrido desde el punto de vista de$O'$. Básicamente, estás analizando lo que sucede desde el punto de vista de$O'$, así que no traigas otros marcos. Así obtienes que la luz pasó la distancia$\sqrt{(2d')^2+(ut)^2}$en$O'$marco. Pero desde la distancia perpendicular$d=d'$es igual en ambos marcos, puede sustituir desde$t_0=2d/c$para obtener su fórmula.