Derivación del efecto Doppler relativista a través de la contracción de longitud

Para concretar (y para que podamos calcular y visualizar cantidades más fácilmente), analicemos desde un marco donde la fuente está en reposo y el receptor se mueve con velocidad$v=(3/5)c$.
Además, sea el período fuente$\tau=10$
y así (en unidades donde$c=1$) la longitud de onda de la fuente es$\lambda=c\tau=10$.

Visualicemos esto en un diagrama de espacio-tiempo dibujado en papel cuadriculado girado.

La fuente y el receptor se encuentran brevemente en el evento O.
Entonces, después de O, se alejan el uno del otro.
con velocidad$v=\frac{PQ}{OP}=(3/5)c$,
el factor de dilatación del tiempo es$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=\frac{OP}{OQ}=(5/4)$
y el bondi$k$-factor$k=\frac{OR}{OT}=\sqrt{\frac{1+(v/c)}{1-(v/c)}}=2$.

Suponga que se emitió una señal de luz en el evento de reunión O, y luego nuevamente en el evento$T$, un período ($\tau_{source}=10$) más adelante en el marco de origen.
Entonces, la longitud de onda de la fuente es la distancia entre los frentes de onda en el marco de la fuente (es decir, la "separación entre dos líneas de señal similares a la luz " en el marco de la fuente). Del diagrama,$\lambda_{source}=c\tau=10$, como se esperaba.

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Abordaré los detalles de su enfoque después del diagrama. Pero primero, haré un comentario importante sobre las longitudes de onda y la contracción de la longitud.

• En el cuadro de origen, imagine una regla en reposo con una marca en$x=10$. Interprete esto como "donde la fuente dice que se encuentra el frente de onda anterior cuando la fuente emite la siguiente señal". Tenga en cuenta que esta marca tiene una línea de tiempo paralela a la fuente.
  Aunque la "separación entre estas líneas de mundo temporales " es igual a$\lambda_{source}$en el marco de la fuente, estas líneas de mundo similares al tiempo solo están indirectamente relacionadas con la longitud de onda de la fuente [que es la "separación entre las líneas de señal similares a la luz "].
  En el marco del receptor, la "separación entre estas líneas temporales del mundo" está dada por$OX=\frac{\lambda}{\gamma}=\frac{10}{5/4}=8$, de acuerdo con la contracción de longitud .
  Sin embargo, esta no es la longitud de onda observada por el receptor ---
  la longitud de onda observada es la "separación entre las líneas de señal similares a la luz " dada por$OW=20$en el marco del receptor. ($OW=k(O\lambda_{source}=(2)(10)=20.$).
  El punto es: la longitud de onda observada (separación entre líneas de señal similares a la luz)
  no involucra directamente la contracción de la longitud (que involucra líneas paralelas similares al tiempo).

Ahora a su enfoque...
Creo que su próximo evento de referencia$R$, cuando el receptor recibe la segunda señal después de reunirse en$O$. Para determinar$R$'s en el marco de origen, encuentre la intersección de la línea de mundo del receptor a través de$O$($x=vt$) con la señal de luz delantera emitida en el evento$T$($x=c(t-\tau)$).
yo obtengo$t_R=\frac{1}{1-\beta}\lambda/c=25$y$x_R=\frac{\beta}{1-\beta}\lambda=15$.
No estoy seguro de dónde está su "$\lambda+v\tau$"$=(10)+(\frac{3}{5})(10)=16$viene de.

Tenga en cuenta que$x_R$es la distancia a la fuente en el cuadro fuente cuando el receptor observa la segunda señal. Esta no es la separación entre frentes de onda. En el marco del receptor, cuando se produce la recepción, el receptor dice que está$\displaystyle\frac{x_{R}}{\gamma}=\frac{15}{5/4}=12$unidades de distancia de la fuente [que, de nuevo, no es la longitud de onda observada$OW=20$].
Entonces, nuevamente, la contracción de longitud no parece ayudar a encontrar la longitud de onda observada.

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Para encontrar la longitud de onda observada$OW$, utilice el período observado$OR$.
Por triángulos similares, el factor de dilatación del tiempo es$\gamma=\frac{OP}{OQ}=\frac{25}{OR}$de modo que$\tau_{obs}=OR=(25)/\gamma=(25)/(5/4)=20$. Entonces,$\lambda_{obs}=c\tau_{obs}=20$, cual es$OW$.
Simbólicamente,

$$\begin{align*} \lambda_{obs}=c\tau_{obs}=c\frac{t_R}{\gamma} &=c\frac{\frac{1}{1-\beta}\lambda/c}{\gamma}\\ &=\frac{1}{1-\beta}(\sqrt{1-\beta^2})\lambda\\ &=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\lambda_{source}=(2)(10)=20, \end{align*}$$ que, aunque es una "longitud", presenta el factor Doppler (el Bondi $k$-factor), no el factor de contracción de longitud.
Nuevamente, distinga la "separación entre líneas de señales de luz" de la "separación entre líneas de tiempo paralelas".
Similarmente, $$\tau_{obs}=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\tau_{source}=(2)(10)=20,$$ que es más largo que el período fuente de $\tau_{source}=10$, como se esperaba para un receptor en retroceso.

Si la luz fuera una corriente de partículas con una masa pequeña, moviéndose casi en c en todos los marcos normales, entonces podríamos usar la fórmula de contracción de longitud sin ningún problema.

Afortunadamente, nunca podemos estar seguros de que el fotón no tenga una masa pequeña.

Entonces, si elegimos una velocidad lo suficientemente cercana a c, obtenemos respuestas que los experimentos actuales no pueden resultar erróneos.

Así que veamos cómo se podría hacer eso. La longitud en reposo de un pulso de luz es gamma multiplicada por su longitud cuando se está moviendo.

Un observador muy especial que se mueva con el pulso de luz vería que todas las varas de medir de un observador normal son muy cortas. El observador especial puede pensar que los observadores normales con sus varillas de medición cortas medirían el pulso de luz incluso más largo de lo que es en el marco del observador especial. Pero eso está mal. La longitud de un objeto en movimiento no se mide con una vara de medir. ¿Cómo mediríamos exactamente la longitud de un objeto en movimiento usando una vara de medir?

Entonces, primero vamos al marco del pulso, luego preguntamos cuál es la longitud del pulso en dos marcos normales. Eso es un cálculo simple de velocidades de objetos y longitudes de dichos objetos. Quiero decir, primero calculamos la velocidad del pulso en los dos marcos normales, y luego calculamos las contracciones de Lorentz a esas dos velocidades.