Derivación de la fórmula de dilatación del tiempo para la velocidad

Question

Derivación de la fórmula de dilatación del tiempo para la velocidad

Física
relatividad
dilatación del tiempo
relatividad especial

Jeffrey Phillips Freeman

Hice un intento de derivar la fórmula de dilatación del tiempo para la velocidad. Este es completamente mi propio enfoque, aunque sospecho que no es nada nuevo/especial en términos de cómo se deriva. Solo quería divertirme un poco y ver si podía resolverlo por mí mismo. Entonces supe que todo estaba basado en la idea de que la velocidad de la luz es una constante en cualquier marco de referencia. Así que dibujé este diagrama que muestra dos marcos de referencia.

Entonces, lo que hice fue tratar de calcular la cantidad de tiempo que le tomaría a la luz viajar entre las dos personas en la nave espacial (A y B). La distancia entre ellos es $D_x$ . Esa es la distancia que recorre la luz en el marco de reposo. Luego calculé la distancia que viajaría como lo vería un observador externo (teniendo en cuenta la velocidad de la nave espacial). Por eso la distancia era mayor, pero la velocidad de la luz era la misma. La relación entre la diferencia entre el tiempo aparente de los dos observadores sería la dilatación del tiempo. Aquí están mis matemáticas.

T_{0} = \frac{D_{X}}{C}

$T_0 = \frac{D_x}{C}$

D_{y} = V_{y} \cdot T_{0}

$D_y = V_y \cdot T_0$

D_{y} = V_{y} \cdot \frac{D_{X}}{C}

$D_y = V_y \cdot \frac{D_x}{C}$

D_{1} = \sqrt{{D_{X}}^{2} + {D_{y}}^{2}}

$D_1 = \sqrt{{D_{x}}^2 + {D_{y}}^2}$

D_{1} = \sqrt{{D_{X}}^{2} + {(V_{y} \cdot \frac{D_{X}}{C})}^{2}}

$D_1 = \sqrt{{D_{x}}^2 + {(V_y \cdot \frac{D_x}{C})}^2}$

T_{1} = \frac{D_{1}}{C}

$T_1 = \frac{D_1}{C}$

T_{1} = \frac{\sqrt{{D_{X}}^{2} + {(V_{y} \cdot \frac{D_{X}}{C})}^{2}}}{C}

$T_1 = \frac{\sqrt{{D_{x}}^2 + {(V_y \cdot \frac{D_x}{C})}^2}}{C}$

T_{1} = \frac{\sqrt{{D_{X}}^{2} + {V_{y}}^{2} \cdot \frac{{D_{X}}^{2}}{C^{2}}}}{C}

$T_1 = \frac{\sqrt{{D_{x}}^2 + {V_y}^2 \cdot \frac{{D_x}^2}{C^2} }}{C}$

T_{1} = \frac{\sqrt{{D_{X}}^{2} + {V_{y}}^{2} \cdot \frac{1}{C^{2}} \cdot {D_{X}}^{2}}}{C}

$T_1 = \frac{\sqrt{{D_{x}}^2 + {V_y}^2 \cdot \frac{1}{C^2} \cdot {D_x}^2 }}{C}$

T_{1} = \frac{D_{X} \cdot \sqrt{1 + {V_{y}}^{2} \cdot \frac{1}{C^{2}}}}{C}

$T_1 = \frac{D_x \cdot \sqrt{1 + {V_y}^2 \cdot \frac{1}{C^2} }}{C}$

T_{1} = \frac{D_{X} \cdot \sqrt{1 + \frac{{V_{y}}^{2}}{C^{2}}}}{C}

$T_1 = \frac{D_x \cdot \sqrt{1 + \frac{{V_y}^2}{C^2} }}{C}$

Δ T = \frac{T_{0}}{T_{1}}

$\Delta T = \frac{T_0}{T_1}$

Δ T = \frac{\frac{D_{X}}{C}}{\frac{D_{X} \cdot \sqrt{1 + \frac{{V_{y}}^{2}}{C^{2}}}}{C}}

$\Delta T = \frac{\frac{D_x}{C}}{\frac{D_x \cdot \sqrt{1 + \frac{{V_y}^2}{C^2} }}{C}}$

Δ T = \frac{D_{X}}{C} \cdot \frac{C}{D_{X} \cdot \sqrt{1 + \frac{{V_{y}}^{2}}{C^{2}}}}

$\Delta T = \frac{D_x}{C} \cdot \frac{C}{D_x \cdot \sqrt{1 + \frac{{V_y}^2}{C^2} }}$

Δ T = \frac{C D_{X}}{C D_{X} \cdot \sqrt{1 + \frac{{V_{y}}^{2}}{C^{2}}}}

$\Delta T = \frac{C D_x}{C D_x \cdot \sqrt{1 + \frac{{V_y}^2}{C^2} }}$

Δ T = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{{V_{y}}^{2}}{C^{2}}}}

$\Delta T = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{{V_y}^2}{C^2} }}$

Así que solo algunas notas, subíndice 0 aquí, como $T_0$ se refiere al tiempo en el marco de descanso, y el subíndice 1 aquí, como $T_1$ representa el marco de referencia donde se mueve el barco.

Como puede ver, la ecuación final que obtuve es casi exactamente correcta, pero parece que resultó en un signo más donde debería haber un signo menos. Después de revisar mi trabajo, no puedo encontrar la fuente de mi error. ¿Qué hice mal?

Respuestas (2)

Derivación de la fórmula de dilatación del tiempo para la velocidad

Ideal Máximo · Answer 1

Este enfoque está realmente bien pensado y es bastante acertado. El problema, sin embargo, ocurre muy temprano.

Hay dos marcos inerciales que estamos considerando. Me referiré a uno como el marco del observador y al otro como el marco del barco.

$T_{0} = \frac{D_{X}}{C}$ $T_{0} = \frac{D_{x}}{C}$

Entonces tu defines $T_{0}$ ser el momento de que la luz pase entre las dos personas con respecto a la estructura del barco.

$D_{y} = V_{y} \cdot T_{0}$ $D_{y} = V_{y} \cdot T_{0}$

Si no me equivoco, supongo que el razonamiento para esto fue el siguiente: dado el marco del barco, en el tiempo que tardó la luz en pasar entre las dos personas, volaron una distancia $D_{y}$ .

Desafortunadamente, $D_{y}$ se define como la distancia vertical con respecto al marco del observador . Esto no es válido para la estructura del barco.

Para explicar esto un poco más, en relatividad dejamos de lado ciertas suposiciones. Una de las suposiciones es que el tiempo es universal en todos los marcos. Sin embargo, la cosa es que una vez que dejas de lado esa suposición, hay otras consecuencias.

Una de esas consecuencias es que la distancia no es la misma en todos los fotogramas, como el tiempo. Más específicamente, si un barco se mueve en el $y$ -eje, longitud paralela a la $y$ -el eje no es el mismo en todos los marcos (aunque la longitud es paralela a la $x$ -el eje está bien).

Volviendo a la derivación, el enfoque es la idea correcta; solo tienes que evitar el error anterior. La distancia $D_{x}$ se aplica a ambos marcos, pero $D_{y}$ se aplica solo al marco del observador.

Eso tiene perfecto sentido. La distancia que recorre el barco a lo largo de Y es el tiempo que tarda la luz en viajar pero no en el tiempo en el marco del barco sino en el tiempo en el marco del observador. Así que mi suposición es incorrecta. Aunque me sorprende que, a pesar de este error, la respuesta que obtuve estaba tan cerca de la respuesta correcta. Supongo que me quedé preguntándome cómo puedo arreglar esta "prueba" para que sea correcta ahora sin volver a escribir todo (si es posible). Independientemente, esta respuesta me parece válida.

mandriles · Answer 2

Creo que tu error puede estar en las primeras líneas. Establece su distancia en la dirección Y igual a su velocidad en la dirección Y multiplicada por el intervalo de tiempo experimentado por las personas en el marco de descanso; ¿No debería ser igual a la velocidad Y en el marco móvil por el tiempo experimentado en el marco móvil? Sin embargo, puedo estar completamente fuera de lugar aquí. Hice mi propia derivación similar y terminé con la respuesta correcta (el factor de dilatación del tiempo es el mismo que el tuyo, excepto que hay un signo negativo en lugar de un signo positivo). Mi teléfono se está cargando ahora, así que publicaré una imagen de la derivación en breve (mi teléfono es lo único con lo que puedo tomar una foto, e hice la derivación en una hoja de papel cuadriculado). Lo siento mucho si mi escritura es terrible, o si no es del todo clara. Mis escritos siempre han sido abismales, en la escuela secundaria solo hacía todo en la computadora ya que nadie podía leer mi escritura. Nota; como se indicó en un comentario anterior, la distancia en la dirección X es la misma en ambos marcos de referencia, ya que allí la velocidad está puramente en la dirección Y en el segundo marco. Esa es una suposición cuando reemplazo D al cuadrado por C al cuadrado por Tiempo en el cuadro 1 (T1) al cuadrado.

Oh, gracias, revisaré esto mañana, pero de hecho se parece mucho a lo que estaba haciendo.
Es bastante parecido. Trataré de hacer uno con una escritura más ordenada mañana y lo publicaré también.

Derivación de la fórmula de dilatación del tiempo para la velocidad

Jeffrey Phillips Freeman

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