Métrica inversa en gravedad linealizada

Question

Métrica inversa en gravedad linealizada

usuario35305

Por lo que he leído, en el marco de la gravedad linealizada, uno perturba la métrica alrededor de un fondo de Minkowski, $\eta_{\mu\nu}$ , tal que

\begin{matrix} (1) & {gramo}_{m v} (X) = η_{m v} + h_{m v} (X) \end{matrix}

$g_{\mu\nu}(x)=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}(x)\tag{1}$ dónde

h_{μ ν} (x)

$h_{\mu\nu}(x)$ es una pequeña perturbación, es decir

\begin{matrix} (2) & | h_{m v} | << 1. \end{matrix}

$\big\lvert h_{\mu\nu}\big\rvert<<1.\tag{2}$

Luego, la métrica inversa se encuentra asumiendo el siguiente ansatz:

\begin{matrix} (3) & {gramo}^{m v} (X) = η^{m v} + {\tilde{h}}^{m v} \end{matrix}

$g^{\mu\nu}(x)=\eta^{\mu\nu}+\tilde{h}^{\mu\nu}\tag{3}$ dónde

{\tilde{h}}^{μ ν}

$\tilde{h}^{\mu\nu}$ también es pequeño (es decir

| {\tilde{h}}_{μ ν} | << 1

$\big\lvert \tilde{h}_{\mu\nu}\big\rvert<<1$ ).

Usando esto, es fácil encontrar que

\begin{matrix} (4) & {gramo}^{m v} (X) = η^{m v} - h^{m v} \end{matrix}

$g^{\mu\nu}(x)=\eta^{\mu\nu}-h^{\mu\nu} \tag{4}$ a primer orden.

Mi pregunta es, ¿cuál es la justificación de este ansatz? ¿Es simplemente que uno espera que la métrica inversa tenga una forma similar a la métrica para satisfacer

\begin{matrix} (5) & {gramo}^{m α} {gramo}_{α v} = d_{v}^{m} ? \end{matrix}

$g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu}=\delta^{\mu}_{\;\nu}~?\tag{5}$

Respuestas (2)

Métrica inversa en gravedad linealizada

qmecanico · Answer 1

qmecanico

Pista: Ansatz (3) no es necesario. Para derivar la ec. (4) de las ecs. (1), (2) y (5), use en su lugar eso para una variación infinitesimal

\begin{matrix} (A) & d ({gramo}^{- 1}) = - {gramo}^{- 1} (d gramo) {gramo}^{- 1}, \end{matrix}

$\delta (g^{-1})~=~- g^{-1}(\delta g)g^{-1},\tag{A}$ dónde

g

$g$ es una matriz invertible (con índices más bajos), y

g^{- 1}

$g^{-1}$ es la matriz inversa (con índices superiores). ¿Puedes ver cómo la ec. (A) se deriva?

usuario35305

Está bien. ¿Se encuentra la ecuación (A) observando que

δ (g^{- 1} g) = δ (g^{- 1}) g + g^{- 1} δ g = 0

$\delta(g^{-1}g)=\delta(g^{-1})g+g^{-1}\delta g=0$ , y entonces

δ (g^{- 1}) = - g^{- 1} (δ g) g^{- 1}

$\delta(g^{-1})=-g^{-1}(\delta g)g^{-1}$ ?! Entonces, dado esto, ¿uno simplemente usa que una perturbación infinitesimal de la métrica inversa alrededor de un fondo de Minkowski debería dar:

{gramo}^{m v} = {\bar{gramo}}^{m v} + d {gramo}^{m v} = η^{m v} + d {gramo}^{m v}

$g^{\mu\nu}=\overline{g}^{\mu\nu}+\delta g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}+\delta g^{\mu\nu}$ dónde

{\bar{g}}^{μ ν} = η^{μ ν}

$\overline{g}^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}$ es la métrica de fondo que está perturbando alrededor...

usuario35305

... y desde

δ g_{μ ν} = h_{μ ν}

$\delta g_{\mu\nu}= h_{\mu\nu}$ , tenemos de la ecuación (A) que

d {gramo}^{m v} = - (η^{m α} + d {gramo}^{m α}) h_{α β} (η^{β v} + d {gramo}^{β v}) = - η^{m α} h_{α β} η^{β v} = - h^{m v}

$\delta g^{\mu\nu}=-\left(\eta^{\mu\alpha}+\delta g^{\mu\alpha}\right)h_{\alpha\beta}\left(\eta^{\beta\nu}+\delta g^{\beta\nu}\right)=-\eta^{\mu\alpha}h_{\alpha\beta}\eta^{\beta\nu}=-h^{\mu\nu}$ a primer orden. Por eso,

{gramo}^{m v} = η^{m v} - h^{m v}

$g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}-h^{\mu\nu}$ ¿Sería esto correcto?

qmecanico

↑

$\uparrow$ Sí.

usuario35305

Está bien. Es por eso que tanto la métrica como su inversa tienen la forma

g_{μ ν} = η_{μ ν} + δ g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+\delta g_{\mu\nu}$ , y

g^{μ ν} = η^{μ ν} + δ g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}+\delta g^{\mu\nu}$ , respectivamente, simplemente porque uno está perturbando ambos

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ y

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ alrededor de un fondo de Minkowski (obviamente, no tendría ningún sentido expandir una métrica y su inversa alrededor de diferentes fondos)? En general, uno tendría

g_{μ ν} = {\bar{g}}_{μ ν} + δ g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}=\bar{g}_{\mu\nu}+\delta g_{\mu\nu}$ y

g_{μ ν} = {\bar{g}}_{μ ν} + δ g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}=\bar{g}_{\mu\nu}+\delta g_{\mu\nu}$ , respectivamente, donde

{\bar{g}}_{μ ν}

$\bar{g}_{\mu\nu}$ ¿Hay alguna métrica de fondo conocida?

qmecanico

↑

$\uparrow$ Sí.

Vanguardia · Answer 2

Llego tarde, pero responderé de todos modos. En gravedad linealizada, $g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}$ . Deseamos encontrar la expresión para $g^{\mu \nu}$ hasta el orden lineal, que en general, debe ser alguna combinación lineal de $\eta^{\mu \nu}$ y $h^{\mu \nu}$ . Para ello, escribimos:

$g^{\mu \nu} = a\eta^{\mu \nu} + b h^{\mu \nu}$ dónde $a,b$ son coeficientes a determinar

$g_{\mu \nu} g^{\nu \lambda} = (\eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu})(a\eta^{\nu \lambda} + b h^{\nu \lambda}) = \delta_\mu^\lambda$

$\Rightarrow a \delta_\mu^\lambda + (a+b)h_\mu^{\ \lambda} = \delta_\mu^\lambda \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ [ $O(h^2)$ término ignorado en el paso anterior]

$\Rightarrow a=1, b=-1$

Entonces el tensor métrico inverso en gravedad linealizada resulta ser $g^{\mu \nu} = \eta^{\mu \nu} - h^{\mu \nu}$ .

como se enfatiza en la otra respuesta, no es necesario asumir ningún ansatz para la métrica inversa.

Métrica inversa en gravedad linealizada

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