Subiendo y bajando índices en gravedad linealizada

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Subiendo y bajando índices en gravedad linealizada

Física
tensor-métrico
cálculo tensorial
teoría linealizada
relatividad general

Benito McLanbeck

En la relatividad general linealizada los índices aumentan y disminuyen por contracción con el tensor métrico del espacio plano $\eta_{\mu \nu}$ . Realmente no entiendo por qué podemos hacer eso. En el libro Ondas gravitacionales de Michele Maggiore, esto se llama simplemente "convención". Eso me parece muy extraño, porque los índices elevados y reducidos tienen un significado geométrico y siento que tal convención tendría consecuencias.

En otras fuentes encontré la breve explicación, que usando $\eta_{\mu \nu}$ en lugar de $g_{\mu \nu}(x)$ es una aproximación que es correcta al orden lineal en la perturbación $h_{\mu \nu}(x)$ . Esto tiene más sentido para mí, pero en ninguna parte se me proporcionó algún tipo de cálculo que demuestre esto y al intentarlo yo mismo, no pude hacerlo y me encontré con alguna contradicción:

En teoría lineal el tensor métrico es

{gramo}_{m v} (X) = η_{m v} + h_{m v} (X) con | h_{m v} | ≪ 1

$g_{\mu \nu}(x) = \eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu}(x)~~~~~~~~~~\text{with}~|h_{\mu \nu}| \ll 1$

Para encontrar los símbolos de Christophe linealizados, es necesario encontrar el tensor métrico inverso $g^{\mu \nu}$ primero. Encontré la siguiente derivación, donde elevar los índices a través de $\eta$ se utiliza:

El Ansatz es $g^{\mu \nu}(x)=\eta^{\mu \nu} + \bar{h}^{\mu \nu}(x)~~~~~~~~~~\text{with}~|\bar{h}_{\mu \nu}| \ll 1$

entonces

{gramo}^{m v} {gramo}_{v k} = d_{k}^{m}

$g^{\mu \nu}g_{\nu \kappa}=\delta^\mu_\kappa$

\Leftrightarrow η^{m v} η_{v k} + η^{m v} h_{v k} + {\bar{h}}^{m v} η_{v k} + {\bar{h}}^{m v} h_{v k} = d_{k}^{m}

$\Leftrightarrow~~~ \eta^{\mu \nu}\eta_{\nu \kappa}+\eta^{\mu \nu}h_{\nu \kappa}+\bar{h}^{\mu \nu}\eta_{\nu \kappa} + \bar{h}^{\mu\nu}h_{\nu\kappa} = \delta^\mu_\kappa$

usando $\eta^{\mu\nu}\eta_{\nu\kappa}=\delta^\mu_\kappa$ e ignorando el $\mathcal{O}(h^2)$ término que obtenemos

η^{m v} h_{v k} = - {\bar{h}}^{m v} η_{v k}

$\eta^{\mu\nu}h_{\nu\kappa}=-\bar{h}^{\mu\nu}\eta_{\nu\kappa}$

\Leftrightarrow h_{k}^{m} = - {\bar{h}}_{k}^{m}

$\Leftrightarrow~~~h^\mu_\kappa=-\bar{h}^\mu_\kappa$

En el último paso, el índice se elevó con la métrica de espacio plano. Entonces terminamos con:

{gramo}^{m v} (X) = η^{m v} - h^{m v} (X)

$g^{\mu \nu}(x)=\eta^{\mu\nu}-h^{\mu\nu}(x)$

Ahora mi primer problema es:

Si puedo bajar y subir índices de tensores con $\eta^{\mu\nu}$ , ¿por qué no hacer eso con $g_{\mu\nu}$ que es un tensor también? Eso daría:

{gramo}^{m v} (X) = η^{m α} η^{v β} {gramo}_{α β} (X) = η^{m α} η^{v β} η_{α β} + η^{m α} η^{v β} h_{α β} (X) = η^{m α} d_{α}^{v} + h^{m v} (X) = η^{m v} + h^{m v} (X)

$g^{\mu\nu}(x)~=~\eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}g_{\alpha\beta}(x)~=~\eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}\eta_{\alpha\beta}+\eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}h_{\alpha\beta}(x)~=~\eta^{\mu\alpha}\delta^\nu_\alpha+h^{\mu\nu}(x)~=~\eta^{\mu\nu}+h^{\mu\nu}(x)$

Pero eso no es lo que da el primer cálculo...

Mi segundo problema es que simplemente no veo cómo justificar el uso de $\eta_{\mu\nu}$ para subir y bajar los índices. En GR linealizado hay algo de simetría bajo transformaciones de coordenadas

X^{m} \to X^{' m} = X^{m} + ξ^{m} (X) con | \partial_{v} ξ^{m} | ≪ 1 (1)

$x^\mu \rightarrow x'^\mu=x^\mu+\xi^\mu(x)~~~~~~~\text{with}~|\partial_\nu\xi^\mu|\ll 1~~~~~~(1)$

Esperaría que, bajo tales transformaciones de coordenadas, las componentes de los vectores contravariantes $A^\mu$ y vectores covariantes $A_\mu$ se transformaría (hasta el orden lineal) de la manera común, es decir

A^{' m} = \frac{\partial X^{' m}}{\partial X^{v}} A^{v} y A_{m}^{'} = \frac{\partial X^{v}}{\partial X^{' m}} A_{v}

$A'^\mu = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}A^\nu~~~~~~~~~~\text{and}~~~~~~~~~~A'_\mu=\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu}A_\nu$

Pero si pongo esto a prueba obtengo:

A_{m}^{'} = η_{m v} A^{' v} = η_{m v} \frac{\partial X^{' v}}{\partial X^{α}} A^{α} = η_{m v} \frac{\partial X^{' v}}{\partial X^{α}} η^{α β} A_{β} (2)

$A'_\mu~=~\eta_{\mu\nu}A'^\nu~=~\eta_{\mu\nu}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\alpha}A^\alpha~=~\eta_{\mu\nu}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\alpha}\eta^{\alpha\beta}A_\beta~~~~~~(2)$

conectando (1) en (2) obtengo

A_{m}^{'} = η_{m v} η^{α β} (d_{α}^{v} + \frac{\partial ξ^{v}}{\partial X^{α}}) A_{β} = (d_{m}^{β} + η_{m v} η^{α β} \frac{\partial ξ^{v}}{\partial X^{α}}) A_{β}

$A'_\mu=\eta_{\mu\nu}\eta^{\alpha\beta}\left(\delta^\nu_\alpha +\frac{\partial \xi^\nu}{\partial x^\alpha}\right)A_\beta~=~\left(\delta^\beta_\mu+\eta_{\mu\nu}\eta^{\alpha\beta}\frac{\partial\xi^\nu}{\partial x^\alpha}\right)A_\beta$

Pero lo que me gustaría conseguir es

A_{m}^{'} = \frac{\partial X^{β}}{\partial X^{' m}} A_{β} = (d_{m}^{β} - \frac{\partial ξ^{β}}{\partial X^{' m}}) A_{β}

$A'_\mu=\frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\mu}A_\beta~=~\left(\delta^\beta_\mu-\frac{\partial\xi^\beta}{\partial x'^\mu}\right)A_\beta$

Así que no sé cómo puedo justificar la reducción de los índices a través de $\eta_{\mu\nu}$ , si al hacerlo no obtengo un vector covariante que se transforme como lo hacen los vectores covariantes... Estaría agradecido si alguien encuentra mis errores o sabe dónde puedo leer sobre esto.

qmecanico

Relacionado: Más sobre la gravedad linealizada .

Respuestas (1)

Subiendo y bajando índices en gravedad linealizada

j murray · Answer 1

En primer lugar, una cuestión de principio: la subida y bajada de los índices es una convención de notación que, en principio, es completamente innecesaria. Cuando tomamos un tensor con colocación de índice "natural" $T^{\mu\nu}$ y luego escribir la colección de símbolos $T_{\mu\nu}$ , lo que realmente estamos haciendo es ahorrarnos la molestia de escribir $g_{\mu\alpha}g_{\nu\beta}T^{\alpha\beta}$ .

Convencionalmente, cuando vemos un índice que difiere de su ubicación natural, sabemos que ha subido o bajado con la métrica. Sin embargo, no es realmente necesario usar la métrica para esto; cualquier forma bilineal no degenerada serviría. Cuando el texto dice que los índices aumentan o disminuyen con la métrica de Minkowski, es una convención perfectamente legal; simplemente le dice cómo interpretar los índices que no están en sus posiciones naturales.

La idea general en la gravedad linealizada es que puede operar en el marco de la relatividad general mientras usa una métrica $g=\eta+h$ , o puede operar en el marco de la relatividad especial (por lo que $g=\eta$ ) y tratar $h$ como un campo dinámico en un espacio-tiempo plano. La convención de la que habla su texto es hacer lo último.

Para adoptar este punto de vista, primero debemos derivar las ecuaciones de movimiento para $h$ de las ecuaciones de Einstein linealizadas. El resultado es

◻ {\bar{h}}_{m v} + η_{m v} \partial^{ρ} \partial^{σ} {\bar{h}}_{ρ σ} - \partial^{ρ} \partial_{v} {\bar{h}}_{m ρ} - \partial^{ρ} \partial_{m} {\bar{h}}_{v ρ} = - \frac{dieciséis π GRAMO}{C^{4}} T_{m v}

$\square \bar h_{\mu\nu}+\eta_{\mu\nu}\partial^\rho\partial^\sigma \bar h_{\rho\sigma}-\partial^\rho\partial_\nu \bar h_{\mu\rho}-\partial^\rho\partial_\mu \bar h_{\nu\rho}= -\frac{16\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

dónde $\bar h$ es la perturbación inversa de la traza

{\bar{h}}_{m v} = h_{m v} - \frac{1}{2} η_{m v} h, h \equiv η^{m v} h_{m v}

$\bar h_{\mu \nu} = h_{\mu\nu} -\frac{1}{2} \eta_{\mu\nu}h \ \ , \ \ h \equiv \eta^{\mu\nu} h_{\mu\nu}$ En lo anterior (y su derivación), no importa si subes o bajas los índices con

η

$\eta$ , o los crías con

g

$g$ pero desecha los términos de orden superior; el resultado es el mismo, porque los únicos índices que suben o bajan son en términos que ya están

O (h)

$\mathcal O(h)$ .

Una vez que tenemos esta ecuación de movimiento, somos libres de volver al marco de la relatividad especial. La métrica (no dinámica) ahora se toma como $\eta$ , y $h$ se trata como un campo (dinámico) que se propaga en un espacio-tiempo de fondo plano con la ecuación de movimiento dada anteriormente, muy parecido al campo electromagnético (ver, por ejemplo, gravitoelectromagnetismo ).

Si puedo bajar y subir índices de tensores con $\eta_{\mu\nu}$ , ¿por qué no hacer eso con $g_{\mu\nu}$ que es un tensor también?

Tenga en cuenta que $\eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}g_{\alpha\beta}$ es un tensor perfectamente razonable. Sin embargo, sus componentes no son la matriz inversa de $g_{\alpha\beta}$ , que necesitamos para calcular los símbolos de Christoffel en el camino para derivar las ecuaciones de Einstein linealizadas.

Mi segundo problema es que simplemente no veo cómo justificar el uso de $\eta_{\mu\nu}$ para subir y bajar los índices. En GR linealizado hay algo de simetría bajo transformaciones de coordenadas [...] Esperaría que bajo tales transformaciones de coordenadas los componentes de vectores contravariantes $A^\mu$ y vectores covariantes $A_\mu$ se transformaría (hasta el orden lineal) de la manera común.

Si desea que los tensores se transformen correctamente en las transformaciones de coordenadas locales, debe cambiar los componentes métricos junto con ellos. Si desea que la métrica tome la forma canónica de la métrica de Minkowski $\eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(-1,+1,+1,+1)$ , entonces está restringido en las transformaciones de coordenadas que puede realizar. En particular, está restringido a las transformaciones globales de Poincaré, que dejan la métrica de Minkowski invariable.

La transformación de coordenadas $x\rightarrow x'=x + \xi(x)$ generalmente no se va $\eta$ invariante, por lo que no debe esperar que sea compatible con subir/bajar índices con $\eta$ a menos que estés dispuesto a dejar $\eta$ cambiar. Es en este sentido que la relatividad especial no posee invariancia general de coordenadas.

Apéndice:

Por lo tanto, puede haber propiedades de los componentes de índice inferior y superior a los que estoy acostumbrado, que ya no son válidas al cambiar de una a otra convención.

Los vectores siguen siendo vectores y los covectores siguen siendo covectores, independientemente de la forma bilineal que utilice para mapear entre ellos. Es decir, dado algún vector $\mathbf X$ y dos formas bilineales no degeneradas $\mathbf g$ y $\mathbf B$ , las cantidades $Y_\mu = g_{\mu\nu} X^\nu$ y $Z_\mu = B_{\mu\nu}X^\nu$ ambos son covectores.

Dicho de otra manera, la elección de la forma para subir y bajar equivale a la elección de un compañero de covector único para cada vector. Una forma diferente significa socios diferentes, pero las propiedades geométricas del vector/espacio dual siguen siendo las mismas.

Parece que la convención es inconsistente si la métrica inversa $g^{\mu\nu}$ no es lo mismo que $\eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}g_{\alpha\beta}$ , pero todavía etiquetado con índices superiores. Eso también lleva a la pregunta de si hay más tensores a los que no se aplica la nueva convención.

A (2,0)-tensor $T^{\mu\nu}$ y su correspondiente tensor de índice reducido (0,2) $T_{\mu\nu}$ no son matrices inversas entre sí. El único tensor para el que esto es cierto es el que ha elegido para subir y bajar. No hay nada inconsistente en esto.

La métrica inversa, por definición, es un tensor (2,0) cuyos componentes $(g^{-1})^{\mu\nu}$ son la matriz inversa de $g_{\mu\nu}$ . De aquí,

{gramo}^{m v} \equiv ({gramo}^{- 1})^{m α} ({gramo}^{- 1})^{v β} {gramo}_{α β} = ({gramo}^{- 1})^{m α} d_{α}^{v} = ({gramo}^{- 1})^{m v}

$g^{\mu\nu} \equiv (g^{-1})^{\mu\alpha}(g^{-1})^{\nu\beta}g_{\alpha\beta}=(g^{-1})^{\mu\alpha}\delta^\nu_\alpha = (g^{-1})^{\mu\nu}$

Pero esto es consecuencia de la definición de la métrica inversa, no de la definición en sí. En particular, la métrica inversa no se define como la versión de índice elevado de la métrica, porque ¿qué significaría eso sin un tensor para hacer el aumento?

Siempre pensé que el objetivo de usar 4-vectores y tensores para escribir ecuaciones en relatividad era que los componentes se comportan de cierta manera bajo transformaciones de coordenadas. Si eso ya no es cierto, ¿cuál es el sentido de subir y bajar los índices? Es un $A_{\mu}B^\mu$ incluso un escalador bajo transformaciones de coordenadas? ¿Las ecuaciones siguen siendo invariantes?

Todavía es cierto. Pero cuando realiza una transformación de coordenadas, necesita transformar todo , eso también incluye la métrica. Explícitamente, si comienza con la métrica $\eta$ y realizar la transformación de coordenadas $x\rightarrow x'=x+\xi(x)$ , entonces los componentes de la métrica se convierten en

η_{m v} \to η_{m v}^{'} = η_{m v} - 2 \partial_{(m} ξ_{v)} + O (\partial ξ^{2})

$\eta_{\mu\nu}\rightarrow \eta'_{\mu\nu} =\eta_{\mu\nu} -2 \partial_{(\mu}\xi_{\nu)}+\mathcal O(\partial \xi^2)$ donde esta el indice

ξ

$\xi$ se ha bajado con

η

$\eta$ . Si conecta esto a su cálculo

A_{m}^{'} = η_{m v}^{'} A^{' v} = η_{m v}^{'} \frac{\partial X^{' v}}{\partial X^{α}} A^{α} = η_{m v}^{'} \frac{\partial X^{' v}}{\partial X^{α}} η^{α β} A_{β}

$A'_\mu=\eta'_{\mu\nu}A'^\nu = \eta'_{\mu\nu} \frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\alpha}A^\alpha = \eta'_{\mu\nu} \frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\alpha}\eta^{\alpha\beta}A_\beta$

Entonces todo funciona bien. Sin embargo, ya no está trabajando con la forma canónica de la métrica de Minkowski, $\eta=\operatorname{diag}(-1,+1,+1,+1)$ . Si desea conservar la forma de $\eta$ , entonces debe limitarse a las transformaciones globales de Poincaré, como generalmente hacemos en la relatividad especial.

Gracias por la respuesta. Tuve que pensar por un día pero ahora veo que todavía estoy confundido acerca de todo esto. Al primer punto: por supuesto, cualquiera tiene el derecho legal de subir y bajar los índices de acuerdo con sus propias reglas. Pero cuando cambias una convención normalmente también tienes que ser consciente de los cambios en el significado de las cosas. Por lo tanto, puede haber propiedades de los componentes de índice inferior y superior a los que estoy acostumbrado, que ya no son válidas al cambiar de una a otra convención. Los dos puntos que hice en la publicación original son ejemplos de eso: ...
Parece que la convención es inconsistente si la métrica inversa $g^{\mu \nu}$ no es lo mismo que $\eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}g_{\alpha\beta}$ , pero todavía etiquetado con índices superiores. Eso también lleva a la pregunta de si hay más tensores a los que no se aplica la nueva convención.
Con el segundo punto tengo mi mayor problema. Siempre pensé que el objetivo de usar 4-vectores y tensores para escribir ecuaciones en relatividad era que los componentes se comportan de cierta manera bajo transformaciones de coordenadas. Si eso ya no es cierto, ¿cuál es el sentido de subir y bajar los índices? Es un $A_\mu B^\mu$ incluso un escalador bajo transformaciones de coordenadas? ¿Las ecuaciones siguen siendo invariantes?
@BenitoMcLanbeck He agregado una sección sustancial a mi respuesta para abordar sus preguntas adicionales.

Subiendo y bajando índices en gravedad linealizada

Benito McLanbeck

qmecanico

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j murray

Benito McLanbeck

Benito McLanbeck

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j murray

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