¿Cuáles son las ecuaciones diferenciales que modelan una onda gravitatoria autopropagante en el espacio-tiempo?

La ecuación de onda para la onda gravitacional (GW) proviene de la ecuación de campo de Einstein en relatividad general, con aproximación linealizada. La ecuación de Einstein es originalmente DE no lineal, pero podemos aproximarla a ser lineal. Establecer métrica:

$$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}, \; |h_{\mu\nu}| \ll 1$$

Calcule el símbolo de Christoffel, el tensor de curvatura de Riemann, etc. Estas cosas consisten en muchos términos derivados de la métrica, pero solo consideramos el primer orden$\mathcal{O}(h_{\mu\nu})$términos. Entonces, la ecuación de Einstein se reducirá en DE lineal. (Omito muchos detalles del proceso para derivar la ecuación de onda de la ecuación de Einstein)

Pequeña perturbación de la métrica$h_{\mu\nu}$se puede descomponer en cada componente$h_{00}, \; h_{0i}, \; h_{ij}$. Para simplificar, usaremos solo la parte espacial con gálibo transversal. Además, suponga que es una caja de vacío. Entonces, DE se reduce así:

$$\square h_{\mu\nu} = 0$$

dónde$h_{\mu\nu}$satisface$h_{0 \nu} = 0$(puramente espacial),$\eta^{\mu\nu} h_{\mu\nu} = 0$(rastreo),$\partial_{\mu} h^{\mu\nu} = 0$(transverso).

La solución general de esta ED es onda plana.

$$h_{\mu\nu} = C_{\mu\nu} e^{i k_{\sigma} x^{\sigma}}$$

y$C_{\mu \nu}$tendrá tal forma. (supongamos que se propaga a$z$dirección)

$$C_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & C_1 & C_2 & 0 \\ 0 & C_2 & -C_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Si recuperamos el término no homogéneo en RHS,

$$\square h_{\mu\nu} \simeq 8 \pi G T_{\mu\nu}$$

entonces la solución se puede expresar con la función de Green y el tiempo retardado.

$$h_{\mu\nu}(t, \vec{x}) \simeq 8 \pi G \int \frac{1}{4\pi |\vec{x}-\vec{y}|} T_{\mu\nu}(t',\vec{y}) d^3 y$$

dónde$t = t' + |\vec{x}-\vec{y}|$

$\textbf{Edit}$

Aquí hay un breve proceso de linealización:

Los términos en el símbolo de Christoffel se sustituyen por$h_{\mu\nu}$en lugar de$g_{\mu\nu}$.

$$\Gamma^{\rho} _{\mu \nu} = \frac{1}{2} \eta^{\rho \lambda} (\partial_{\mu} h_{\nu \lambda} + \partial_{\nu} h_{\mu \lambda} - \partial_{\lambda} h_{\mu\nu} )$$

$O((h_{\mu\nu})^2)$Se desprecian los términos de orden en el tensor de curvatura de Riemann. Además, el tensor de Ricci$R_{\mu\nu}$y Ricci escalar$R$también tienen formas lineales.

$$R_{\mu\nu\rho\sigma} = \eta_{\mu\lambda} \partial_{[\rho,} \Gamma^{\lambda}_{\sigma],\nu} + O((h_{\mu\nu})^2)$$

Ahora, póngalos todos en la ecuación de Einstein, luego se obtiene la forma linealizada.

$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} Rg_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu}$$

$$\frac{1}{2} (\partial_{\sigma}\partial_{(\nu,} h^{\sigma} \; _{\mu)} -\partial_{\mu} \partial_{\nu} h - \square h_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu} \partial_{\rho}\partial_{\sigma} h^{\rho \lambda} + \eta_{\mu\nu} \square h ) = 8\pi G T_{\mu\nu}$$

Algunos términos redundantes se pueden eliminar con la suposición de calibre transversal.

La luz como onda autopropagante en el vacío se rige por las ecuaciones libres de Maxwell:

$$\nabla^aF_{ab}=0$$ Los campos eléctricos y magnéticos que muestran el comportamiento oscilatorio son en realidad los componentes del tensor de Maxwell.$F_{ab}$. Uno podría preguntarse: ¿ cuáles son los análogos de$F_{ab}$en GR? Tenga en cuenta que uno puede expresar las ecuaciones de campo de Einstein del vacío$R_{ab}=0$como divergencia del tensor de Weyl: $$\nabla^aC_{abcd}=0$$ que se parece bastante a las ecuaciones libres de Maxwell. Hay otras representaciones de estas ecuaciones de vacío; por ejemplo, en el formalismo de 2 espinores se puede definir una ecuación de campo de masa en reposo cero libre (zrm) para un espín general n/2, por ejemplo, consulte aquí . Sin embargo, a diferencia de la ecuación libre de Maxwell, las ecuaciones de vacío de Einstein$\nabla^aC_{abcd}=0$no son exactamente lineales en$C_{abcd}$, ya que tanto la conexión$\nabla^a$y$C^{abcd}$depende de la métrica$g_{ab}$. De hecho, las soluciones de tales ecuaciones diferenciales no lineales son difíciles de encontrar. Algunas soluciones para ondas planas exactas y ondas esféricas se han discutido aquí , aquí , etc. Si estamos buscando pequeñas perturbaciones en la métrica de Minkowski de fondo, entonces podemos esencialmente linealizar las ecuaciones de vacío como $$\partial^aK_{abcd}=0$$ dónde$K_{abcd}$es la curvatura de Riemann linealizada y no tiene trazas (como la curvatura de Weyl).$K_{abcd}$es invariante bajo la transformación de calibre de la métrica linealizada solo cuando consideramos las perturbaciones sobre la métrica de Minkowski.

Si está interesado en el sistema no lineal completo, entonces las ecuaciones diferenciales que necesita resolver son solo las ecuaciones de Einstein en el vacío ($R_{\mu \nu} = 0$). Probablemente tendrá que aprender algo de geometría diferencial para ir más allá. En particular, escribir esto en términos de un conjunto de coordenadas es un tema sutil, porque en el contexto de la geometría diferencial, la noción misma de coordenadas es diferente que en la mayoría de los otros campos de la física.

Dicho esto, se han realizado algunos trabajos sobre soluciones de ondas planas exactas (no linealizadas). En las Secciones 35.10–12 de Misner, Thorne, & Wheeler's Gravitation se puede encontrar una breve descripción de una de estas soluciones . También se puede encontrar una revisión más reciente de tales soluciones en el Capítulo 24 de Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein por Stephani et al. , aunque definitivamente necesitará cierta familiaridad con la geometría diferencial para absorber lo que hay allí.