Expansión multipolar: electrostática

1. Cuando se resuelve la ecuación de Laplace

   $$0~=~\nabla^2\Phi~=~\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2 \frac{\partial \Phi}{\partial r} - \frac{1}{r^2}L^2\Phi$$ en coordenadas esféricas en masa (lejos de una región central con fuentes), se separa en un problema angular en el$2$-esfera$S^2$y un problema radial.

2. Dado que el grupo de rotación$SO(3)$actúa sobre el$2$-esfera$S^2$, las soluciones angulares son representaciones del grupo de Lie $SO(3)$, a saber, combinaciones lineales de los armónicos esféricos . Todas las representaciones irreducibles de dimensión finita $V_{\ell}$del grupo mentira$SO(3)$se caracterizan por un espín entero$\ell\in\mathbb{N}_0$, que están relacionados con la$2^{\ell}$-término de polo . Aquí el Casimiro$L^2$tiene valor propio$\ell(\ell+1)$. el irrep$V_{\ell}\equiv\underline{\bf 2\ell\!+\!1}$tiene dimensión$2\ell\!+\!1$. P.ej$\ell=0$es un monopolo,$\ell=1$es un dipolo,$\ell=2$es un cuadrupolo , y así sucesivamente.

3. El punto principal es que los potenciales para cualquier número de cargas se pueden clasificar de acuerdo con el esquema anterior. El radio correspondiente$2^{\ell}$-la solución polar cae como$r^{-(\ell+1)}$. Consulte también las publicaciones relacionadas con Phys.SE aquí y aquí .

Piensa en lo que se necesita para construir cada multipolo con cargas puntuales que tengan la misma magnitud.

1. Un monopolo toma una carga puntual.
2. Los tres dipolos básicos toman dos, uno positivo y otro negativo, orientados en una combinación de las tres direcciones ortogonales.
3. Los cinco cuadrupolos básicos se construyen a partir de varias combinaciones de dos dipolos (cuatro monopolos).
4. Los siete octupolos básicos se construyen a partir de dos cuadrupolos ($8$monopolos).
5. etc.

En otras palabras, para construir un multipolo de un orden dado, es necesario disponer las cargas de tal manera que se cancelen todos los multipolos de orden inferior. Por lo tanto, la forma más fácil de construir un multipolo de orden$n$es tomar un multipolo de orden$n-1$, cópielo, desplace la copia a lo largo de un eje de (a) simetría, luego invierta todas las cargas de la copia. Es decir, poner un$2^{n-1}$-poste al lado de un$2^{n-1}$-polo de tal manera que el$2^{n-1}$-polo de la combinación es cero. Eso requiere$2^{n-1} + 2^{n-1}=2^n$monopolos de igual magnitud de carga.

Para obtener una explicación de la cantidad de tipos básicos de cada multipolo, consulte el segundo elemento en la respuesta de @ Qmechanic.