Comprender la expansión multipolar en electrodinámica clásica

Estoy tratando de comprender mejor lo que significa la expansión multipolar desde un punto de vista físico. Aunque matemáticamente, se puede decir que es solo otra forma de expansión en serie, en este caso, los términos en la expansión son en sí mismos físicamente significativos, a saber: monopolos, dipolos, cuadrupolos, etc.

Ingenuamente, como ejemplo, si uno tiene una buena comprensión de estos términos, entonces puramente por consideraciones físicas uno podría decir: "en este caso, debido a este y aquel aspecto, no podemos tener monopolos, por lo que el término principal debe sea ​​un dipolo...". Un poco similar a cómo los físicos explotan los razonamientos de simetría para reducir o simplificar sus cálculos.

Ejemplo

Para hacer la pregunta más concreta, tomemos un ejemplo de un segmento de línea cargado a lo largo de un eje, con el segmento que tiene la longitud$l.$Así que si nuestra carga total es$q,$la densidad de carga es simplemente$\rho=q/l.$Estamos interesados ​​en describir el campo eléctrico generado por este segmento de línea cargado, y para hacerlo se nos dice que hagamos una expansión multipolar y que estudiemos los términos principales.

Mi opinión sobre la expansión multipolar

Ahora, cómo entiendo la expansión multipolar: es un método útil para aproximar el campo eléctrico a una distancia lejana de la fuente, por lo que tiene un dominio especial de aplicabilidad (aunque no sé qué lo limita al estudio de campo lejano). La expansión en sí implica que Taylor expande la función de Green de campo libre$G_{\text{free}}$con respecto a$d$que es aproximadamente el radio de la región esférica que contiene la fuente de carga. Para aclarar,

Además, tener$G_f,$la idea es superponer la solución de la función de Green para encontrar soluciones para cualquier otra distribución de carga$\rho$para resolver el potencial$\phi.$Es decir, a grandes rasgos,$\phi \propto \int G_f \rho \mathrm{d}r \tag{1}$Ahora la idea final es, Taylor expandir$G_f$alrededor$\vec{d}$y vuelva a insertar en$(1),$que se puede reescribir como:

El$Q^l$entonces se dice que los términos son los diferentes momentos multipolares.

Volviendo al ejemplo, hagamos la expansión: Para el momento monopolar, tenemos$Q^0=\int \rho(r') \mathrm{d}V' = q, \text{where }\rho=q/l,$entonces el campo correspondiente es$\phi^0 \propto q/r.$El momento dipolar es$0$como$\frac{q}{l} \int_{-l/2}^{l/2} x' \mathrm{d}x' = 0.$Aquí hemos asumido que el segmento está sobre el eje x. Para encontrar el siguiente término principal, tenemos que ir un orden más alto, por lo que para calcular el momento cuadripolar:$Q^2_{zz}=Q^2_{yy}\propto -q l^2$y$Q^2_{xx}\propto \frac{q}{3}l^2.$Insertando de nuevo estos momentos en la Ec.$(2),$podemos aproximar el campo eléctrico lejos de la fuente como

Preguntas:

1. Vimos en la solución, Eq.$(3),$que lejos del segmento de línea cargado, el campo eléctrico generado puede aproximarse hasta dos términos principales por un monopolo más un cuadrupolo. ¿Podríamos haber esperado físicamente encontrar estos dos términos principales en la expansión? ¿Cómo interpretamos de nuevo físicamente la composición de estos diferentes órdenes de polos, por ejemplo, un monopolo más un cuadrupolo? Ni siquiera entiendo por qué se permite esta composición, porque un monopolo es solo un escalar y un cuadrupolo un tensor de orden superior.

2. ¿Es posible que un campo lejano de cierta distribución de carga$\rho$ni siquiera exhibe un monopolo, por ejemplo, en la expansión?

3. ¿Por qué la expansión multipolar es principalmente una aproximación para la descripción del campo lejano solamente?

Una vez más, mi objetivo es encontrar un mejor control sobre estos conceptos desde un punto de vista físico general, porque sé que estos son conceptos recurrentes en toda la física (por ejemplo, que las ondas gravitacionales son cuadrupolares...). Pero por mi parte, no tengo forma de traducir tales afirmaciones en términos más simples.