Método de cargas de imagen (semiesfera sobre un metal)

Question

Método de cargas de imagen (semiesfera sobre un metal)

cargar
Física
potencial
electrostática
expansión multipolar
deberes-y-ejercicios

Rafa Fafa

Actualmente estoy tratando de estudiar con anticipación para el próximo semestre ya que estoy de vacaciones y estoy atascado en el método de cargos de imagen. Intenté ver algunos videos de YouTube sobre ese tema y pensé que entendía hasta cierto punto, así que probé algunos ejercicios en mi libro de trabajo. Lamentablemente, solo había uno sobre ese tema, ya que el libro solo cubría brevemente ese tema.

Hay una semiesfera metálica con radio a que se encuentra sobre una placa de metal infinitamente expandida, que se encuentra en el plano xz. En $X= (R \cos\alpha, R\sin\alpha, 0)$ hay una carga q.

(1) Determinar con el uso del método de cargas de imagen el potencial $\phi(x)$ fuera de la esfera y demuestre que resuelve la ecuación de Poisson.

(2) Escriba el potencial electrostático $\phi(x)$ en la aproximación cuadripolar con momento monopolar, dipolar y cuadripolar.

(3) En relación con el origen, calcule el momento monopolar, dipolar y cuadripolar del sistema con las cargas y las cargas imagen.

Para ser honesto, estoy totalmente perdido aquí. Intenté seguir el video paso a paso para tratar de resolver esto, pero parece que no puedo hacerlo. Ni siquiera sé dónde debo colocar el cargo de la imagen. ¿Debe reflejarse en el eje z? ¿O reflejado a través de la semiesfera? Mi suposición sería la primera, pero no estoy totalmente seguro ya que lo probé con eso y todavía no sabía cómo proceder a partir de eso. Y con respecto a (2) y (3): ¿supongo que la aproximación del cuadrupolo se refiere a la expansión multipolar con monopolo, dipolo y cuadrupolo? Al menos eso fue lo primero que encontré al intentar buscar la aproximación del cuadrupolo.

Sé que es grosero de mi parte preguntar, ya que realmente no puedo proporcionar ningún trabajo de mi parte que lo considere digno, pero ¿alguien puede mostrarme un enfoque general para este tipo de problemas? Me siento realmente estúpido después de lidiar con este problema. Mi libro de trabajo incluso dice que este es un ejercicio fácil para abordar este tema.

Editar:

@nbubis Intenté dibujar la configuración de los cargos de imagen. ¿Es así?:

Acerca de (2) y (3): ¿Debería verlo como dos dipolos y luego sumar ambos potenciales de esos dipolos para obtener el potencial del cuadrupolo? Pero, de nuevo, no necesitaría el momento cuadripolar para eso, ¿verdad?

Supongo que solo quieren una fórmula general para la aproximación de cuadrupolo y la respuesta explícita de eso en (3) entonces. Entonces, si tuviera que seguir la ruta de expansión multipolar, ¿solo necesitaría calcular el momento monopolar, dipolar y cuadripolar y sumarlos para obtener el potencial? Y la verdad sea dicha, todavía estoy un poco perdido con la terminología en la expansión multipolar provista en Wikipedia. Es difícil entender eso de mí sin ver un ejemplo donde se aplica la expansión multipolar.

Respuestas (1)

Método de cargas de imagen (semiesfera sobre un metal)

nbubis · Answer 1

Primero comprenda el método de los cargos de imagen. La idea detrás del método es pasar por alto la resolución de la ecuación diferencial con condiciones de contorno y, en su lugar, "hacer trampa" adivinando la solución correcta. Para ello encontramos una configuración de cargas imaginarias que junto con las reales harán que el potencial en todas las superficies sea el dado.

En su caso, tiene dos superficies, cada una con potencial constante cero. Para un avión, si tiene un cargo $q$ en $(x,y,z)$ y otro en $(x,-y,z)$ , claramente el potencial en $y=0$ será cero. Para la esfera, si una carga está en el radio $R$ de la esfera con radio $a$ , una imagen cargada con carga $-qa/R$ debe colocarse en el radio $a^2/R$ , pero se mantiene la misma idea.

Ahora, primero agregue la carga de imagen para la esfera. Ahora el potencial en la esfera es cero, pero en el plano todavía tenemos un gradiente. Sin embargo, si reflejas ambas cargas fuera del plano, deberías ver que el potencial tanto en la esfera como en el plano es cero.

Escribiendo todo esto, tenemos:

\begin{array}{rcl} ϕ (X) & = & \frac{q}{\sqrt{(X - R porque α)^{2} + (y - R pecado α)^{2} + z^{2}}} \\ - & \frac{q}{\sqrt{(X - R porque α)^{2} + (y + R pecado α)^{2} + z^{2}}} \\ - & \frac{q a}{R \sqrt{(X - (a^{2} / R) porque α)^{2} + (y - (a^{2} / R) pecado α)^{2} + z^{2}}} \\ + & \frac{q a}{R \sqrt{(X - (a^{2} / R) porque α)^{2} + (y + (a^{2} / R) pecado α)^{2} + z^{2}}} \end{array}

$\begin{eqnarray} \phi({\bf x}) &=& \frac{q}{\sqrt{(x-R\cos\alpha)^2+(y-R\sin\alpha)^2+z^2}} \\ &-& \frac{q}{\sqrt{(x-R\cos\alpha)^2+(y+R\sin\alpha)^2+z^2}} \\ &-&\frac{qa}{R\sqrt{(x-(a^2/R)\cos\alpha)^2+(y-(a^2/R)\sin\alpha)^2+z^2}} \\ &+&\frac{qa}{R\sqrt{(x-(a^2/R)\cos\alpha)^2+(y+(a^2/R)\sin\alpha)^2+z^2}} \end{eqnarray}$ Claramente, en

y = 0

$y=0$ tenemos

ϕ = 0

$\phi=0$ . Ahora, ¿qué pasa con el hemisferio? puntos en el hemisferio satisfacen

z^{2} = a^{2} - x^{2} - y^{2}

$z^2 = a^2 - x^2-y^2$ , de modo que sustituyendo nos lleva al potencial en el hemisferio:

\begin{array}{rcl} ϕ (X_{s pag h mi r mi}) & = & \frac{q}{\sqrt{- 2 X R porque α - 2 y R pecado α + R^{2} + a^{2}}} \\ - & \frac{q}{\sqrt{- 2 X R porque α + 2 y R pecado α + R^{2} + a^{2}}} \\ - & \frac{q a}{R \sqrt{- 2 X (a^{2} / R) porque α - 2 y (a^{2} / R) pecado α + (a^{2} / R)^{2} + a^{2}}} \\ + & \frac{q a}{R \sqrt{- 2 X (a^{2} / R) porque α + 2 y (a^{2} / R) pecado α + (a^{2} / R)^{2} + a^{2}}} \\ = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray} \phi({\bf x}_{sphere}) &=& \frac{q}{\sqrt{-2xR\cos\alpha -2yR\sin\alpha + R^2 +a^2}} \\ &-& \frac{q}{\sqrt{-2xR\cos\alpha +2yR\sin\alpha + R^2 +a^2}} \\ &-&\frac{qa}{R\sqrt{-2x(a^2/R)\cos\alpha -2y(a^2/R)\sin\alpha + (a^2/R)^2 + a^2}} \\ &+&\frac{qa}{R\sqrt{-2x(a^2/R)\cos\alpha +2y(a^2/R)\sin\alpha + (a^2/R)^2 + a^2}} \\ &=&0 \end{eqnarray}$ Al poner el

a / R

$a/R$ en la raíz cuadrada.

Para escribir la expansión multipolar, solo necesita escribir la expansión de Taylor del potencial alrededor $1/r$ , con $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ . Esto da que cualquier expresión de la forma:

\underset{r \to \infty}{límite} \frac{1}{\sqrt{r^{2} + b}} = \frac{1}{r} - \frac{b}{2 r^{3}} + \frac{3 b^{2}}{8 r^{5}} + \dots

$\lim_{r\to\infty}\frac{1}{\sqrt{r^2+b}}= \frac{1}{r} - \frac{b}{2r^3} + \frac{3b^2}{8r^5} + \cdots$ Luego puede usar esta expansión en los componentes del potencial para obtener su resultado.

¿Sobre la carga de imagen de la esfera? ¿Dónde lo pondría? ¿En el origen de la esfera oa una distancia Ra de la superficie de la esfera? siendo R la distancia a la carga desde el punto de origen.
@RafaFafa Como se indica en el enlace de mi respuesta, la carga de imagen de una esfera se encuentra en la línea que conecta la carga y el centro de la esfera, en el otro lado de la esfera.
Gracias por tu respuesta. Creo que puedo imaginar la configuración de carga. ¿Podrías mirar mi edición y decirme si es correcto? Y estoy teniendo problemas con la expansión multipolar en (2) y (3). De una subsección sobre Cuadrupolos en Wikipedia, puedo ver que de alguna manera es la suma de todos los multipolos para obtener el potencial de una configuración particular. ¿Significa que debería calcular el momento monopolar, dipolar y cuadripolar?
Muy bien, ¿entonces básicamente conecto los denominadores de cada carga (siendo las distancias desde el origen hasta cada carga)? $\frac{1}{r}$ es el término del monopolo, $\frac{b}{2r^3}$ el término dipolo y así sucesivamente entonces? ¿Qué es b en ese caso? Intenté hacerlo de acuerdo con este en.wikipedia.org/wiki/… . ¿ Sería entonces b el factor de cada término 1/r correspondiente?
@RafaFafa - Sí. $b$ son los términos que tiene por ahí además de $r^2$ . También tenga en cuenta que, como se esperaba, el término del monopolo termina siendo cero.
Muy bien, por alguna razón mi término de momento dipolar también es cero. ¿Es eso correcto? Tenga en cuenta que no usé la notación vectorial con la fórmula, sino que solo usé los valores absolutos de las distancias de las cargas al origen, lo que significa $a^2/R$ y R. En cuanto al cuadrupolo momento estoy perdido. Todavía no estoy completamente acostumbrado al término Delta de Kronecker y todos los índices me confunden un poco. ¿Por qué la suma es sobre i y no hay una suma separada sobre k y l?
@RafaFafa: acepte la respuesta y agregue una nueva pregunta sobre sus preguntas adicionales.

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Comprender la integral para el momento dipolar eléctrico de una distribución de carga

Potencial eléctrico - Batygin, libro Toptygin

Calcule la distribución de carga dado el potencial Φ(x,y)=2(tan−1(1+xy)+tan−1(1−xy))Φ(x,y)=2(tan−1⁡(1+ xy)+tan−1⁡(1−xy))\Phi(x,y) = 2(\tan^{-1}(\frac{1+x}{y}) + \tan^{-1} (\frac{1-x}{y})) [cerrado]

(Función generadora de Legendre) Potencial eléctrico fuera del eje de un disco aislado

Diferencia de potencial entre el punto sobre la superficie y el punto sobre el eje del cilindro cargado uniformemente

Potencial generado por una esfera hueca con un agujero

Cambio en la energía potencial eléctrica después de que la esfera se divide en dos

Encontrar la energía almacenada en una capa esférica, pero la integral diverge

¿La carga ligada está definida en el infinito?

Aclaración de la expansión multipolar para una carga puntual