Derivación de la ley de fuerza en relatividad especial

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Derivación de la ley de fuerza en relatividad especial

melatividad

He visto la fuerza definida en la relatividad especial como la tasa de cambio de 4-momentum

F = \frac{d pag}{d t}

${\bf{F}} = \frac{d {\bf{p}}}{dt}$

¿Alguien puede comentar sobre la siguiente derivación de esa relación?

Toma una dimensión del espacio. Si me muevo con 4 velocidades ${\bf U}(t) = \frac{d{\bf x}}{d \tau}$ , entonces experimentaría una aceleración de $\frac{d{\bf U}}{d \tau}$ . (Aclaración rápida: desde ${\bf U}$ tiene norma constante, será ortogonal a su derivada, por lo que ${\bf U} \cdot \frac{d{\bf U}}{d \tau} = 0$ . Y dado que en mi marco de referencia de movimiento conjunto momentáneo (MCRF), ${\bf U}$ está enteramente en la dirección del tiempo, mi aceleración, $\frac{d{\bf U}}{d \tau}$ , estará completamente en la dirección del espacio). Entonces, en mi MCRF,

\frac{d tu}{d τ} = a (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = a \cdot {\vec{mi}}_{X}

$\frac{d{\bf U}}{d \tau} = a \left(\begin{array}{c}0\\1\\\end{array}\right) = a \cdot \vec{{\bf e}}_x$

Este es el paso del que no estoy seguro: ¿sería correcto equiparar la aceleración que siento, $a$ , con la fuerza que mi motor de cohete aplica sobre mí, dividida por mi masa, $F/m$ ? eso nos daría

F {\vec{mi}}_{X} = metro \frac{d tu}{d τ}

$F \vec{{\bf e}}_x = m \frac{d{\bf U}}{d \tau}$

Generalizando a tres dimensiones espaciales, obtendrías

F := F_{X} {\vec{mi}}_{X} + F_{y} {\vec{mi}}_{y} + F_{z} {\vec{mi}}_{z} = metro \frac{d tu}{d τ}

${\bf F} := F_x \vec{{\bf e}}_x + F_y \vec{{\bf e}}_y + F_z \vec{{\bf e}}_z = m \frac{d{\bf U}}{d \tau}$

Finalmente, en mi MCRF, $d \tau = dt$ , por lo que obtendrías la ley de fuerza original. ¿Es esta una forma correcta de derivar la ley de fuerza en la relatividad especial?

Respuestas (1)

Derivación de la ley de fuerza en relatividad especial

Nunzio Damino · Answer 1

No, no es correcto, porque decir que la aceleración $a$ te sientes es $F \over m$ implica que estás usando la ley del movimiento:

F = metro a

$F = ma$ Lo cual es válido en mecánica clásica, no en relatividad especial. La relación correcta puede derivarse formalmente por un principio de acción mínima

En relatividad especial, la ley que deducimos tiene que ser invariante bajo la transformación de Lorentz. En otras palabras, la ley debe tener la misma forma en todo sistema de referencia inercial que acepte que la velocidad de la luz es c. El problema surge por el hecho de que la partícula libre Lagrangiana en Mecánica Clásica:

L = \frac{1}{2} metro v^{2}

$L = \frac{1}{2} m v^2$ No es invariante bajo la transformación de Lorentz, por lo tanto, si usa las ecuaciones de Euler-Lagrange para determinar la ley del movimiento (que es F = ma), esto sería incorrecto. En su lugar, debe "construir" un Lagrangiano que sea invariante de Lorent, por ejemplo:

L = - metro C^{2} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}

$L = -mc^2\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Esta es la invariante de Lorentz, por lo que, si ahora usa las ecuaciones de Euler-Lagrange (que recuerdo que se derivan de un principio de acción mínima), obtendrá la ecuación correcta:

\vec{F} = \frac{d}{d t} (metro γ_{tu} \vec{v})

$\vec{F} = \frac{d}{dt} (m \gamma_u \vec{v})$

Sería útil si pudiera elaborar la relación correcta. Por ejemplo, ¿cuál es la definición de fuerza que está usando ahora (implícitamente) cuando dice que no son iguales?

Derivación de la ley de fuerza en relatividad especial

melatividad

Respuestas (1)

Nunzio Damino

Abhinav

Nunzio Damino

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