¿Existen ondas sinusoidales puras en la naturaleza o son una construcción matemática que nos ayuda a comprender fenómenos más complejos?

Dado que ningún fenómeno es completamente periódico (nada se sigue repitiendo de menos infinito a infinito), se podría decir que las ondas sinusoidales nunca ocurren en la naturaleza. Aún así, son una buena aproximación en muchos casos y eso suele ser suficiente para considerar algo físico.

¿O son una construcción matemática que nos ayuda a interpretar la naturaleza?

Incluso iría más allá y diría que es razonable que todo en física sea una construcción matemática que nos ayude a interpretar la naturaleza , pero eso llevaría al debate filosófico de qué es la naturaleza , etc. Después de todo, casi todo en física falla o al menos se vuelve problemático en algún régimen: la noción de partículas en las teorías de interacción fuerte, la energía en la relatividad general, la noción de una onda de sonido a escala atómica...

Esto es realmente más un complemento de la respuesta de jinawee , pero es posible que desee considerar qué, en todo caso, hace que su pregunta sea diferente de las siguientes preguntas análogas:

• ¿Hay líneas en la naturaleza o son una construcción matemática que nos ayuda a comprender fenómenos más complejos?
• ¿Hay puntos en la naturaleza o son una construcción matemática que nos ayuda a comprender fenómenos más complejos?
• ¿Hay esferas en la naturaleza o son una construcción matemática que nos ayuda a comprender fenómenos más complejos?

En un nivel fundamental, la física se trata de construir modelos matemáticos del mundo observable. Estos modelos son "reales" solo en la medida en que hacen predicciones comprobables que pueden compararse con ese mundo observable. Dado que cualquier observación experimental solo es precisa hasta cierta precisión, nunca es posible decir que uno de estos modelos matemáticos es exactamente igual a lo que describe. Pero sin el lenguaje de las idealizaciones matemáticas, la física sería incapaz de hacer casi nada.

Como dijo Jinawee, no pueden ser físicos debido a su extensión temporal. Sin embargo, son extremadamente útiles porque ellos (seno, coseno y combinación de ellos) son las funciones propias del operador$\partial_t^2$que aparece en muchas ecuaciones diferenciales:

$\partial_t^2(A\sin(\omega t+\phi))=-\omega^2A\sin(\omega t+\phi)$.

Puede verificar fácilmente que esto también es cierto para cualquier combinación lineal de seno y coseno de la misma frecuencia con fase constante arbitraria. Por otro lado, esta propiedad (función propia) no es satisfecha por otras funciones, incluso periódicas como$\sin(\omega t)+\sin(2\omega t)$. Por eso estas funciones son especiales y omnipresentes.

Ahora, dado que las ecuaciones ondulatorias suelen ser lineales, naturalmente nos vemos obligados a utilizar el análisis de Fourier: podemos descomponer ~cualquier señal* como una combinación lineal de la función armónica seno y coseno, transformar los operadores derivados en multiplicaciones algebraicas$(\partial_t^2 \rightarrow -\omega^2)$resuelva fácilmente la ecuación ahora algebraica y sume las soluciones para recrear una señal física (es decir, limitada en el tiempo). Compruebe la ecuación de Wave- vs Helmholtz-

*hay algunas restricciones, pero esto no molesta para las señales físicas habituales

Que yo sepa, parece que las ondas sinusoidales ocurren en la naturaleza.

Por ejemplo, la luz es, en cierto sentido, una oscilación del campo electromagnético, que no tiene armónicos si consideramos un solo fotón. Me gustaría agregar que los láseres ocurren en la "naturaleza", más precisamente, son reales, simplemente porque es posible fabricarlos. Siento que si son creados o no por algún proceso no hecho por el hombre es irrelevante, ya que los humanos todavía necesitamos obedecer las leyes de la naturaleza, lo que significa que los láseres siguen las leyes de la naturaleza.

En conclusión, creo que se puede argumentar que todo es solo una construcción matemática al final, porque no podemos saber lo que sucede con absoluta precisión en los fenómenos y nos vemos obligados a idear modelos para describir nuestras observaciones lo mejor que podamos, por lo que debemos nunca podemos saber con certeza si nuestro modelo es 100% exacto o si solo lo es hasta cierto punto, pero con un error que es demasiado pequeño para que lo observemos.

Cada señal que tratamos de medir tendrá ruido de fondo de otros fenómenos. Con tantos fenómenos en el universo, podría ser razonable decir que nunca podríamos medir una sinusoide "natural" pura, pero esa es una pregunta diferente a si existen fenómenos que tienen un comportamiento puramente sinusoidal.

Muchos, pero no todos los fenómenos, están compuestos de múltiples frecuencias. Para que su declaración sea verdadera, todos (hay alrededor de$10^{80}$átomos en el universo conocido - para contar todas las interacciones de 2 átomos, eso sería$10^{160}$, etc..., y esto ignora los fotones que son mucho más numerosos) los fenómenos deben tener múltiples componentes de frecuencia. Solo para tener una perspectiva, si ignoramos todo menos el hidrógeno, su declaración es mucho menos probable que ganar la lotería mientras se ahoga y le cae un rayo en el mismo segundo .

Toda ecuación diferencial lineal de segundo orden tiene soluciones de$e^{p v}$dónde$p$es un parámetro complejo y$v$es la variable. Para el sonido y la luz, esperamos una puramente imaginaria$p$en la mayoría de los casos simplemente porque se conserva la energía. Por ejemplo, cada electrón alrededor de un átomo de hidrógeno libre (el hidrógeno representa más del 73 % de la materia (no oscura) del universo, gran parte de la cual es libre) tiene una solución radial ( página 6 ) que es una sinusoide pura. Si objetas que hay otras cargas que perturban la órbita del electrón, estoy completamente de acuerdo en que a menudo hay perturbaciones en esa órbita, pero son tan pequeñas que no puedes medirlas (la incertidumbre en los niveles de energía del átomo de hidrógeno puede derivarse de la teoría que ignora la presencia de otros átomos), y si lo hiciera, encontraría que el comportamiento más probable era exactamente sinusoidal de todos modos.

En otras palabras, es absurdo decir que no hay sinusoides puros en la naturaleza (ignorando el atolladero filosófico de lo antinatural). Además, sí, las ondas sinusoidales también nos ayudan a entender fenómenos más complejos.

Una respuesta ligeramente ontológica que termina como "elige tu veneno" sin necesidad de cosas cuánticas.

Veo dos aspectos en tu pregunta:

• Si tiene una onda arbitraria en cualquier medio, ¿es "real" su descomposición FFT en ondas sinusoidales individuales?
• ¿Puedes encontrar algo que, cuando se mide, traza una, para todos los efectos, una curva sinusoidal perfecta ?

La respuesta a la primera pregunta es un "tal vez" muy definido. Encontrará muchos procesos que absolutamente no tienen un análisis FFT "real". Tome un terremoto; crea una onda de materia sólida que viaja a través de la Tierra. Es increíblemente improbable que esta onda sea una onda sinusoidal perfecta; y no hay ninguna parte de este proceso (de rocas que se deslizan entre sí) que invite a sospechar que si hace una FFT para el revoltijo aleatorio que vemos en nuestros medidores, la onda sinusoidal constituyente tendría contrapartes "reales" en el fondos rocosos de nuestra Tierra.

Por otro lado, puede imaginar procesos que, de hecho, podríamos tratar como si fueran FFT naturales. Encuentra un lago mágico hecho de unobtanium líquido que, cuando arrojas piedras en él, de alguna manera produce ondas sinusoidales perfectas. Ahora, deja caer tres piedras una al lado de la otra. Sí, obtendrás una ola aparentemente aleatoria; sí, puede transformarlo mediante FFT para obtener 3 partes limpiamente separadas, y sí, hay un equivalente físico para este análisis (es decir, las 3 gotas de piedra). Entonces, sí, con suficientes movimientos manuales de detalles irrelevantes, podría usar una FFT en una onda aparentemente aleatoria para reconstruir eventos físicamente "reales".

La respuesta a la segunda parte dependería un poco de sus suposiciones. ¿Qué aceptarías como "perfecto"? Medir cosas es molestamente difícil en resoluciones pequeñas (maldito seas, Heisenberg). ¿Dónde colocaría el "punto de corte"? ¿Aceptaría una medida que es perfecta hasta la escala de 10 nanómetros? ¿Dentro de la escala de 1 mm? Si es así, seguro, tome un péndulo muy grande en poco o nada de aire y partes muy bien engrasadas, y mida su ángulo. Voilá, dentro de su precisión de medida arbitraria, tiene una onda sinusoidal perfecta, consulte la pregunta Physics.SE pertinente .

Al menos por un tiempo, hasta que la fricción reduzca la velocidad del péndulo lo suficiente como para notarlo incluso en la resolución arbitraria que eligió para su medición. Y sí, según nuestra comprensión actual, sin duda si tenemos un universo en contracción, todo se ralentizará al final. O, peor aún, si descubrimos que el universo está en constante expansión, cada proceso aún comenzó con el Big Bang, por lo que no es eterno en esa dirección. Entonces, si necesita un proceso eterno , no tiene suerte.

En un comentario dijiste "en mi mente, las frecuencias son para el sonido lo que los elementos químicos son para la materia".

Entonces, las ondas de pecado no son extremadamente especiales. El proceso de descomponer un fenómeno de onda en una combinación lineal de algún conjunto de componentes básicos y poder reconstruirlo a partir de los coeficientes no es en absoluto especial para las ondas de seno (o coseno).

Cualquier conjunto suficientemente denso de funciones (en un sentido formal) que separe las cosas lo suficiente y contenga las funciones constantes servirá.

Da la casualidad de que las ondas sinusoidales tienen propiedades matemáticas muy fáciles de trabajar, y la transformada de Fourier, al ser su propia inversa, tiene cierta elegancia.

Puede ver aplicaciones prácticas de ese hecho, como las ondículas utilizadas en la compresión jpeg. Estas ondículas no son periódicas como las ondas de seno, pero una combinación lineal de tales ondículas es densa en el espacio de amplitud.

Puedes dar un paso atrás y mirar la transformada de Fourier. Empiezas con alguna ola. Lo multiplica contra la señal original (usando convolución) y, a partir del resultado, calcula cuánto se superponen y cuál es la mejor escala de la onda para aproximarse a la señal original.

Luego resta esa onda escalada de la señal original. Esto "elimina el componente de frecuencia" de la señal original (en el sentido de que si lo convolucionaras nuevamente con la onda, obtendrías cero).

Luego repetimos esto con diferentes frecuencias, cada vez "eliminando un componente de frecuencia". Siempre que los componentes de frecuencia que eliminemos sean ortogonales entre sí (una generalización de estar "en ángulo recto"), eliminar nuevos componentes de frecuencia no "recuperará" los antiguos.

Da la casualidad de que "quitar el componente de frecuencia" corresponde a una operación.

Si configura una cavidad de resonancia de longitud L por la que viajan ondas de presión a una velocidad S, y tiene un conjunto repetitivo de ondas de presión, la cavidad amplificará la parte de la onda de presión de frecuencia L/S que corresponde aproximadamente a la convolución de la onda senoidal con la amplitud de la onda de presión a lo largo del tiempo.

Eso parece bastante académico, pero ¿alguna vez te has mirado las orejas?

Son cavidades de resonancia. Las ondas de presión entran y rebotan de un lado a otro.

A lo largo de este, hay pelos que captan los cambios de presión. Las ondas de varias frecuencias son amplificadas y amortiguadas por la cámara de resonancia y excitan e ignoran un conjunto predecible de cabellos.

En resumen, nuestros oídos dividen las ondas de presión en algo muy parecido a lo que hace el análisis de Fourier. Tenemos transformadores físicos de Fourier en nuestra cabeza conectados a nuestro cerebro.

Entonces, cuando hacemos un análisis de Fourier y decimos que hay una señal fuerte a 550 Hz, esto corresponde a lo que escuchan nuestros oídos porque nuestros oídos están haciendo algo que las matemáticas se aproximan y mapean las ondas de presión en un espectro de frecuencias para que las escuchemos. .

Nuestros ojos no hacen eso.

Cuando realiza un análisis de Fourier en imágenes, obtiene resultados útiles, pero a menudo hay singularidades y artefactos desagradables.

Para una frecuencia de fotón dada, el universo de la luz es muy similar al universo del sonido a escala humana (uno se mueve más rápido). Pero en lugar de una cavidad de resonancia para fotones, tenemos una cámara y una lente estenopeicas. Esto nos da una gran resolución direccional en la luz. Por su parte, el oído nos da una gran resolución temporal sobre el sonido. Con nuestros oídos, podemos escuchar si algo está vibrando a 500 Hz oa 600 Hz muy obviamente; con nuestros ojos, si tomas una luz y la enciendes y apagas a 500 o 600 Hz ni siquiera la verías.

En cambio, nuestros ojos tienen pigmentos que absorben ciertas frecuencias de fotones, dividen el espacio de frecuencia de fotones de dimensión infinita en un cubo de 1 a 4 dimensiones y nos brindan información posicional de alta resolución sobre el origen de los fotones.

El paso de asignar frecuencias de fotones a los pigmentos 1-4 corresponde a una convolución, que puede aproximarse con una transformada de Fourier, pero el posicionamiento espacial realmente no corresponde a una cavidad de resonancia como herramienta de frecuencia. Por lo tanto, cuando usa el análisis de Fourier en las posiciones de las luces, no se asigna tan bien a nuestra experiencia perceptiva.

En resumen, no, la curva de pecado puro como componente fundamental del sonido es un artefacto de cómo escuchamos. Dado que algo vibra de una manera específica, obtendrás una curva de pecado pura, pero vibrar de esa manera específica tampoco es fundamental para el universo.

Primero, desde un punto de vista sistémico, si puede modelar un sistema físico como salidas que dependen linealmente de entradas (potencialmente desconocidas), y que las características del sistema son estables a lo largo del tiempo, termina con un sistema llamado Lineal-Time-Invariant. sistema. Para tal sistema, los senos complejos son las funciones más naturales, incluso si realmente no puedes observarlas. Son "naturales", porque una entrada sinusoidal compleja se convierte en una salida sinusoidal compleja de la misma frecuencia. Se llama "una función propia" de dicho sistema.

Y la buena noticia es que cualquier otra solución para un sistema de este tipo, por complicada que sea, se puede descomponer en una suma ponderada de funciones propias de seno complejas, lo que simplifica mucho el análisis de los sistemas LTI en el dominio de Fourier. Fourier diagonaliza los sistemas LTI , de ahí la eficiencia de FFT para cálculos más rápidos.

En segundo lugar, como esto aún no se menciona directamente, la ecuación del calor se deriva de la ley de Fourier o ley de conducción del calor:

la tasa de flujo de energía térmica por unidad de área a través de una superficie es proporcional al gradiente de temperatura negativo a través de la superficie.

Para resolver la ecuación de calor resultante, Fourier "inventó" la llamada serie de Fourier, que resultó ser, en su versión rápida (FFT), uno de los algoritmos más importantes.

La existencia de senos verdaderos podría ser de naturaleza filosófica (platonismo). Sin embargo, para sistemas menos lineales o menos invariantes en el tiempo, los físicos desarrollaron versiones más localizadas de los senos complejos , llamados wavelets , que son similares a los solitones, y que pueden usarse para analizar ecuaciones diferenciales no lineales, fenómenos de turbulencia, campos cuánticos. teoría, etc

Nota: sobre "la rotación de los planetas pero tampoco son sinusoides puros ya que la gravedad de otros planetas afecta su rotación". A Gauss a veces se le atribuye por primera vez la transformada rápida de Fourier , utilizada para la predicción de la posición de los cuerpos celestes.

FWIW, el movimiento de una masa de péndulo en el extremo de una cuerda está muy cerca de una frecuencia única perfecta.

Pero en respuesta a su pregunta, las ondas sinusoidales en una transformada de Fourier NO representan una realidad física. Solo la forma de onda en sí es una realidad física. Los componentes de onda sinusoidal en una transformada de Fourier son simplemente una construcción matemática que nos permite analizar la forma de onda de una manera particular.

Esto debería quedar claro cuando miras las matemáticas detrás de esto. Para una onda cuadrada (y para varias otras formas de onda), solo puede obtener una transformada de Fourier totalmente precisa si tiene una cantidad infinita de armónicos; cualquier cosa menos lo deja con una mera aproximación. Esto debería decirle directamente que es simplemente una herramienta matemática.

Estudié un poco de análisis de frecuencia con FFT y binning de fase óptimo y me enseñaron que podemos representar cualquier forma de onda compuesta como la suma de las frecuencias de sus componentes.

Quien primero intentó la transformada de Fourier, ¿por qué lo intentaría? ¿Qué haría que alguien pensara que es una buena idea dividir una señal en ondas sinusoidales?

Resulta que la idea es sensata si miras cómo podría generarse el sonido. Por ejemplo, considere una cuerda de guitarra. Sus extremos son fijos, no se pueden mover. El único movimiento que puede ocurrir con una cuerda tendría los extremos fijos en cero. Luego, ¿cuál sería la onda más simple en la cuerda que termina en cero? Es una onda semisinusoidal con una longitud igual a la longitud de la cuerda. La segunda onda posible es la onda sinusoidal completa, etc.

Estas fueron todas las llamadas ondas estacionarias . Ahora solo suena sensato que uno pueda representar la dinámica de la forma de la cuerda que produce el sonido como una combinación de ondas estacionarias.

¿Son reales las ondas estacionarias? Puedes observar las ondas que parecen ondas estacionarias, seguro. Si son reales es una cuestión diferente. No creo que el seno o el coseno sean reales a menos que creas en Dios, quien usó estas funciones para diseñar el mundo. Sin embargo, ves las formas que se describen mejor como ondas sinusoidales todo el tiempo. En ese sentido son construcciones matemáticas que corresponden a la realidad, o se representan en la realidad.

En la clase de física, tomamos un tubo cuadrado largo, cubrimos el fondo con aserrín, montamos un diapasón junto a un extremo, lo golpeamos con un mazo de goma y observamos cómo aparecía el gráfico de onda sinusoidal en el aserrín.

Esa es una onda sinusoidal bastante real para mí y espero que sea lo suficientemente real para ti.

Explicación física: la oscilación de la onda de sonido en un tubo abierto en ambos extremos y con una longitud múltiplo de la frecuencia del diapasón sostiene una oscilación de sonido en forma de onda sinusoidal en el tubo.

Creo que está confundiendo la incapacidad de los humanos para medir algo "perfectamente" con la no ocurrencia en la naturaleza de ondas sinusoidales "puras". No debe haber ninguna duda de que las ondas sinusoidales puras ocurren en la naturaleza , es solo nuestra incapacidad para medir con precisión y sin perturbar lo que se está midiendo lo que causa el problema.

¿Son las ondas sinusoidales matemáticas "construcciones" humanas? ¡Absolutamente sí! ¿Y qué? Son, de hecho, "construcciones" que nos ayudan a comprender la naturaleza.

Sus ejemplos "funcionarán" si elimina los "efectos periféricos".
Se puede hacer que el diapasón oscile solo a su frecuencia fundamental.
La órbita de un planeta se puede declarar circular dentro de una cierta tolerancia (%) , por lo que oscila a una sola frecuencia (dentro de la tolerancia dada).
La luz se puede "limpiar" con filtros para que solo pase una frecuencia (dentro de una tolerancia dada).
Estos fenómenos, vistos a través de un aparato adecuado, mostrarán la naturaleza sinuosa de la frecuencia.