¿Todas las ondas periódicas tienen una frecuencia fundamental?

Veamos primero una definición de "frecuencia fundamental": "La frecuencia fundamental, a menudo denominada simplemente fundamental, se define como la frecuencia más baja de una forma de onda periódica". Dada esta definición, todas las formas de onda periódicas definitivamente tienen una frecuencia fundamental$f$, que es exactamente el recíproco del período$T$de la forma de onda periódica

$$f=\frac {1}{T} \tag 1$$ @ThePhoton ha señalado esto correctamente en sus comentarios anteriores. La razón es que cualquier forma de onda periódica $$f(t)=f(t+T)\tag 2$$ con punto $T$se puede expandir en una serie de Fourier con periodo $T$: $$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \exp( i\frac {2\pi nt}{T}) \tag3$$ donde los coeficientes están dados por $$c_n=\frac {1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\exp(-i \frac {2\pi nt}{T}) \tag 4$$ y la integral es sobre cualquier período de la función que comienza en $t_0$. Por lo tanto, la forma de onda de frecuencia fundamental $f_1 (t)$de una forma de onda periódica arbitraria $f(t)$viene dada por el término de Fourier para $n=1$: $$f_1(t)=c_1 \exp( i\frac {2\pi t}{T}) \tag 5$$ con $c_1=c_1*$definido por la ec. (4). Un solo pulso no tiene una frecuencia fundamental en este sentido. Sin embargo, se puede descomponer en un número infinito de componentes de frecuencia que corresponden a la transformada de Fourier del pulso único.

Depende de lo que quieras decir.

Si te sientes matemático, es posible que veas ondas periódicas y pienses en funciones periódicas ,$f(x) = f(x + p)$, y frecuencia fundamental y pensar 'si no tiene fundamental, no es periódico'. En matemáticas, dado$f(x) = f(x+p_1)$, y$g(x) = g(x+p_2)$,$h(x) = f(x) + g(x)$no es periódico a menos que$\frac{p_1}{p_2} \in$racionales$^1$, a pesar de$h(x)$estar compuesto de funciones periódicas. QED. Sí.

Si tuviera antecedentes musicales o electrónicos, podría ver la 'onda periódica' como una 'señal' con propiedades periódicas; esto tiene más sentido dado que el OP pregunta sobre frecuencias fundamentales que son un tema común para los músicos. Aquí, lo fundamental es el tono que el oído humano identifica como el tono específico de la señal (porque es el más fuerte [más bajo] psicoacústicamente).

La ecuación de onda unidimensional, con su famoso conjunto de ' sobretonos ', se aproxima a los instrumentos de cuerda, metal y viento. La fundamental es la frecuencia más baja de la serie armónica. La percusión redonda y la percusión cuadrada tienen armónicos diferentes y más complicados. Por esta razón y decaimiento, describir estas señales por sus fundamentos puede ser menos útil, pero tienen una frecuencia más baja que generalmente decae más lentamente que los componentes de frecuencia más alta. No necesariamente.

Por cierto, afinamos la mayoría de los pianos con un temperamento igual , lo que significa que las notas adyacentes tienen una proporción de$\root{12}\of{2}$. Para generar una señal sin una frecuencia fundamental, simplemente toque dos notas que no estén separadas por octavas enteras. Trivialmente, comprobablemente no.

Si tenía experiencia en wavelets, solitones o acústica, podría incluir ondas viajeras periódicas$^2$. OP, ¿es esto lo que quieres decir cuando dices 'pulso'? Aquí, el único requisito es que los componentes de frecuencia tengan velocidades similares en el medio. Estas probablemente no son funciones periódicas porque una ondícula no necesita repetirse. Un pulso tendrá una 'frecuencia más baja', pero la duración del pulso puede ser demasiado corta para identificar esa frecuencia; consulte oídos y NSST . Aún no.

Por último, si hablamos de sonido y somos pedantes, nuestros oídos tienen vellos que vibran a diferentes frecuencias, por lo que en lugar de 'ningún sonido es periódico', todos los sonidos son necesariamente periódicos. Si lograste tocar la función delta de Dirac , primero que nada, guau y buena explosión, pero tu oído escucharía su propia característica de respuesta de frecuencia. Esto y golpear un sistema con una función de paso de Heaviside son técnicas para examinar rápidamente la respuesta de frecuencia de un sistema.

$^{^1\text{Irrationals are uncountable while rationals are merely infinite. Given 2 random frequencies, the signal's assuredly non-periodic.}}$

$^{^1\text{Travelling waves exist with open and closed boundary conditions.}}$