¿Por qué la frecuencia de un pulso de onda en una cuerda solo depende de la fuente del pulso de onda?

Existe una ecuación que traduce correctamente la situación de una cuerda bajo un pulso de frecuencia$\omega$en el punto$x_0$de la cuerda

$$\rho\frac{d^2y}{dt^2}=T\frac{d^2y}{dx^2}+\kappa \delta(x-x_0)\sin(\omega t)$$ esta ecuación no es más que una aplicación de la segunda ley de Newton. El primer término es el $ma$parte de $f=ma$. Aquí $\rho$jugar el agujero de la masa $m$, en realidad es la densidad de la cuerda. La lógica es que cada punto $x$de la cuerda puede deformarse en $y_x(t)$, o $y(x,t)$. $\frac{d^2y}{dt^2}$es la aceleración del punto $x$en el momento $t$. El segundo término es la tensión.

La tensión es una fuerza que cualquier punto de la cuerda puede sentir si los puntos cercanos de la cuerda no están estirados.$T$mide la fuerza. Si deforma el aguijón, entonces la tensión intentará hacer que la cuerda vuelva a estirarse pero, por conservación de la energía, esto produce una oscilación.

El último término es la fuente. El$\delta(x-x_0)$dice que la fuente se encuentra en el punto$x_0$de la cuerda El$\sin(\omega t)$dice que la fuente oscila el punto$x_0$con frecuencia$\omega$.

Juntando todo esto tenemos que a medida que la fuente empieza a oscilar el punto$x_0$, la tensión empieza a actuar sobre otros puntos$x\neq x_0$cerca de$x_0$. Esto finalmente sucede en toda la cadena. El resultado es una onda con velocidad$v=\sqrt{T/\rho}$. Esto es así porque en puntos$x\neq x_0$, tenemos:

$$\rho\frac{d^2y}{dt^2}=T\frac{d^2y}{dx^2} \rightarrow \frac{d^2y}{dt^2}=\frac{T}{\rho}\frac{d^2y}{dx^2} \rightarrow \frac{\partial^2 y}{\partial x_+ \partial x_-}=0$$ dónde $x_{\pm}=x\pm vt$. La solución es una superposición de ondas izquierda y derecha. $$y(x,t)= f(x_+)+g(x_-)$$ La solución completa debe ser compatible con la oscilación del $x_0$con frecuencia $\omega$. Entonces concluimos que todos los puntos necesitan vibrar exactamente a la misma frecuencia con diferentes fases, de lo contrario, $y(x,t) \neq f(x_+)+g(x_-)$. Trate de visualizar tomando el marco referencial que hace la configuración de la función $y(x,t)$al menos

Yo diría que tiene que ver con las leyes de conservación de energía/información. Puedes imaginar una onda (ya sea electromagnética o vibraciones en una cuerda) que se propaga a través de un medio. La energía de tal onda está dada por:

1. Oscilador armónico clásico (péndulo o cuerda vibrante)

   $$U = \frac{1}{2}kx^2$$ dónde$x$es el desplazamiento desde la posición de reposo en estado estacionario y$k$es una constante (constante de resorte) que tiende a hacer retroceder el sistema hacia el equilibrio de estado estacionario. La frecuencia de oscilación aquí es $$f= \frac{1}{T}= \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$ dónde$T$es el periodo y$m$la masa del oscilador (masa de la unidad de longitud de una cuerda, si lo desea). Entonces puedes ver que la energía almacenada en el sistema está dada por $$U=\frac{m}{2}(2\pi f)^2 x^2$$ Entonces, está claro que si asumimos la ausencia de pérdida o ganancia, la frecuencia debe permanecer constante a medida que la onda viaja en la cuerda; de lo contrario, estamos ganando o perdiendo energía.

2. Oscilador armónico mecánico cuántico (ondas electromagnéticas - fotones)

   $$E = hf$$ dónde$h$es la constante del tablón. De nuevo, la energía depende de la frecuencia y debe ser constante en ausencia de fuentes o sumideros locales.

Ahora, en el caso de transmisión/reflexión en una interfaz, podría ayudar pensar en la cuerda como una serie de bolas igualmente espaciadas, conectadas con resortes/cuerdas sin masa, es decir, algo así como

$$-\cdot-\cdot-\cdot-$$ Para una interfaz en el caso de una cuerda, podemos pensar en una cuerda delgada unida a una cuerda gruesa. $$-\cdot-\cdot-\cdot-\odot-\odot-\odot-$$

La energía viaja a través de este conjunto de cuerdas a través de interacciones de "vecino más cercano". Digamos que un pulso viaja de izquierda a derecha, para que la tercera bola comience a moverse, la primera tiene que transferir energía a la segunda y así sucesivamente. Podemos pensar en la frecuencia como una tasa de oscilación (movimiento). La bola grande que se encuentra en la interfaz no puede comenzar a moverse hasta que la bola pequeña a su izquierda se mueve, y estas sacudidas llegan a una tasa constante de$f$por segundo y se transmiten.

Ahora, mientras la onda viaja a una velocidad diferente en el segundo medio (me refiero al patrón), las sacudidas se transfieren entre bolas individuales a una velocidad constante; de ​​lo contrario, el flujo de información se interrumpirá. Esto se manifiesta en un cambio de longitud de onda en el segundo medio.

$$f= \frac{v_p}{\lambda}$$ dónde $v_p$es la velocidad de fase (velocidad de propagación del patrón de onda) y $\lambda$la longitud de onda Mantener $f$constante, si $v_p$aumenta, por lo que debería $\lambda$y viceversa.