¿Por qué un tono puro es sinusoidal?

¿Por qué no cualquier otra forma para representar una sola frecuencia (como ondas triangulares)?

No he podido encontrar una gloriosa "respuesta fácil de entender", pero encontré que el desplazamiento sinusoidal de una partícula produce una velocidad y aceleración sinusoidal. ¿Podría esto explicar por qué esta es la forma ideal o natural de un movimiento y ondas en la naturaleza, así como su uso en técnicas de análisis como las transformadas de Fourier?

La respuesta es mucho más simple. Cuando miras una rueda que gira a una velocidad constante, una coordenada de cualquier punto de la rueda cambia en el tiempo como un seno. Así que la frecuencia es una proyección o rotación. Puede girar una rueda solo con una velocidad constante a la vez. Por lo tanto, un seno representa solo una frecuencia.
@safesphere Y, sin embargo, en los sistemas dispersivos que analiza a continuación, una influencia de conducción sinusoidal dará como resultado una mezcla de frecuencias que llegan al detector en diferentes momentos. Y la pregunta es sobre las ondas, después de todo, no sobre el movimiento circular. (Por todo eso, el 'círculo de referencia' es una forma útil de enseñar ondas armónicas sin cálculo; pero luego, en el sistema no lineal, las ondas armónicas son, como dijiste, no especiales).

Respuestas (1)

Los sinusoides (senos y cosenos) son las funciones propias de la ecuación de onda. Eso es si buscas un conjunto de funciones. F i , ω por lo que es cierto que

∂ 2 F i , ω ∂ X ± 1 C 2 ∂ 2 F i , ω ∂ t = λ F i , ω ,
por algún número real λ , entonces todas las respuestas serían algunas combinaciones de pecado ⁡ ( k X ∓ ω t ) y porque ⁡ ( k X ∓ ω t ) . 1

Esta es una propiedad bastante especial. Para cualquier otra función periódica (como ondas triangulares u ondas cuadradas) no hay soluciones de calificación en absoluto. Sin embargo, puede escribir todas esas soluciones no calificadas como una suma de las que sí califican. Alquiler F ser un sustituto de cualquier solución periódica no calificada, entonces

F = ∑ i ∫ d ω C i , ω F i , ω ,
para algún conjunto seleccionado de coeficientes C i , ω s. 2

Entonces, resumiendo la historia matemática: las ondas sinusoidales tienen las propiedades especiales de tener una frecuencia única y ser utilizables para componer todas las funciones periódicas.

1 incluí el i subíndice en F i , ω para que podamos distinguir pecado y porque . Resulta que λ = k 2 − ω 2 C 2 , y que al elegir k (para una dada ω ) de modo que λ = 0 obligas a que la velocidad de la onda sea C y tener una descripción de una onda física que coincida con las condiciones de su aparato.

2 Incluso hay una forma de encontrar el C i , ω es de F , pero escribirlo aquí en realidad no explicaría más por qué las sinusoides son especiales.

Esta ecuación solo es cierta para una onda lineal y, por lo tanto, difícilmente responde la pregunta. La propiedad especial de su solución se debe a la linealidad de la ecuación, no a la unicidad de la función seno. Puedes hacer una transformada similar a Fourier usando diferentes funciones periódicas, que son igualmente capaces de componer todas las funciones periódicas. Esta respuesta no explica por qué un seno representa una sola frecuencia.
@safesphere Esto es ciertamente específico para la simple "ecuación de onda" de vainilla, pero la línea de argumentación también se extiende a otras ecuaciones de onda: las funciones propias seguirán siendo especiales. Y, de hecho, formarán la base de la 'transformada similar a Fourier' a la que aludes e incluye la representación del comportamiento dispersivo (o no dispersivo) de las soluciones compuestas también en esos casos. Un curso de introducción a la mecánica de Schrödinger pondrá a los estudiantes a prueba en esto para una ecuación de onda no lineal.
Nada de esto explica por qué las ondas sinusoidales se denominan tonos "puros". En mi opinión, esa es una pregunta sobre la psicoacústica humana y no tiene nada que ver con la física o las matemáticas. Por ejemplo, los humanos pueden escuchar un solo tono con una frecuencia aparente. F cuando la forma de onda periódica real no tiene ningún componente de Fourier con la frecuencia F !
@alephzero Ciertamente no he abordado el tema de la respuesta sensorial humana aquí, pero nuestros oídos internos leen la señal entrante en alguna aproximación del espacio de frecuencia. Es solo que hay casos extremos que estropean la interpretación de los datos. (Y he visto la demostración y es raro. Al igual que en el que no puedes escuchar el tono de 30 Hz hasta que se mezcla una señal de 90 Hz). Siéntete libre de escribir el final de la respuesta sensorial: yo estar fuera de mi profundidad.
@alephzero Para mi pregunta, estaba buscando una explicación matemática/física de la "forma de onda perfecta" y menos de la interpretación humana de su sonido. dmckee respondió perfectamente a mi pregunta (aunque no esperaba matemáticas tan hermosas en un foro de física). Sin embargo, tu contribución sobre la psicoacústica humana es bastante interesante, así que investigaré eso más adelante :D
¿Por qué un tono puro es sinusoidal?
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