¿La Frecuencia Fundamental en una Cuerda Vibrante NO Tiene Necesariamente la Mayor Amplitud?

Hice un poco de discusión sobre este tema en este hilo en Music.SE .

La fundamental no necesariamente tiene la amplitud más fuerte. Como dijo Alfred Centauri, depende de la configuración inicial: idealmente, la cadena vuelve exactamente a esa configuración después de cada$\tfrac1{\nu_1}$, y la amplitud de cada armónico en el espacio de frecuencias es proporcional a su amplitud en la configuración inicial en el espacio de números de onda. Ahora, la configuración inicial para los instrumentos de cuerda pulsada es más o menos lo que describí en la primera figura de la respuesta de Music.SE: algo entre un triángulo y un diente de sierra, y como sabemos, ambos tienen una secuencia monotónicamente decreciente de 1 de coeficientes de ^Fourier ($\mathcal{O}(\tfrac1{n^2})$para triangulo,$\mathcal{O}(\tfrac1{n})$para diente de sierra), por lo que la fundamental tiende a tener la mayor amplitud en la cuerda al principio. Pero esto puede no ser cierto para el sonido de un instrumento real por una variedad de razones: en la guitarra, si golpea la cuerda rápidamente con una púa, la configuración inicial puede parecerse más a un pico de Dirac suavizado, para el cual todas las frecuencias más bajas tienen la misma amplitud. Del mismo modo para una nota de piano fuerte. Entonces, las resonancias en los cuerpos de los instrumentos pueden hacer que la fundamental decaiga más rápido que algunos de los otros armónicos, por lo que después de un tiempo son más fuertes, aunque los constructores de instrumentos clásicamente intentan evitar esto. De manera similar, como dijo John Rennie, los cuerpos pueden ser más eficientes para conducir algunos de los armónicos al aire que los fundamentales y, del mismo modo, el micrófono para medir el sonido.

Finalmente, debe asegurarse de lo que realmente muestra este espectro de Fourier suyo: en la producción de audio, los analizadores de espectro no muestran algo proporcional a la amplitud.$A(\omega)$en frecuencia$\omega$, pero en realidad a$A(\omega)\cdot\sqrt{\omega}$de modo que el ruido rosa parece tener una amplitud constante. (Por razones tanto históricas/técnicas como de conveniencia.) Entonces, si en un espectro de este tipo, el fundamental resulta ligeramente más débil que, por ejemplo, el segundo armónico, en realidad puede ser aún más fuerte.

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¹ _{En realidad, la secuencia de coeficientes de Fourier de una onda triangular en sí misma no es monótona, sino que alterna entre una secuencia monótona (para impares$n$) y cero. Dado que la fundamental tiene impar$n=1$, que equivale al mismo resultado.}

Yo esperaría que si tocas una cuerda de guitarra, el modo con la amplitud más alta es el fundamental, aunque este no es necesariamente el modo con la energía más alta ya que la energía de una cuerda que vibra es proporcional al cuadrado de la frecuencia (y el cuadrado de la amplitud).

Sin embargo, no estás midiendo la amplitud de la vibración de la cuerda. Estás midiendo la EMF generada por un micrófono que registra las vibraciones del aire producidas por la cuerda. Debe considerar cómo se transfiere la energía de la cuerda al aire y del aire al micrófono. En el caso de una guitarra, gran parte del sonido lo genera el cuerpo de la guitarra, por lo que también debe tener en cuenta la eficiencia de la transferencia de energía de la cuerda al cuerpo de la guitarra.

Todo esto me parece complicado, y no conozco ninguna regla simple sobre la cantidad de energía de cada modo que eventualmente termina en el micrófono. Hice experimentos similares en la escuela, pero eso fue hace mucho tiempo y, sinceramente, no puedo recordar si el fundamental era el modo más grande o no. Recuerdo que los armónicos más altos eran bastante grandes, es decir, la forma de onda no se parecía en nada a una onda sinusoidal, así que si me dices que la fundamental a veces no es el componente más grande, puedo creerlo.

Todo depende de la configuración inicial. Si la configuración inicial de la cadena (forma de la cadena en$t=0$) incluye un nodo en el centro, la cuerda no vibrará a la frecuencia fundamental.

Este video de YouTube es una demostración de este fenómeno.