¿Por qué el ángulo de un péndulo en función del tiempo es una onda sinusoidal?

$\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}$es la segunda derivada temporal del desplazamiento angular.$\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$sería derivada por primera vez. Para entender este desplazamiento, comparémoslo con el desplazamiento lineal$x$

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$es la velocidad, mientras que$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}$es aceleración. Entonces, si la primera derivada es la tasa de cambio de una cantidad con respecto al tiempo, ¡la segunda derivada mide la tasa de cambio de esa tasa de cambio!

Con esto en mente, si observa la "Derivación de la fuerza" en la misma página , muestra cómo puede usar la aceleración (segunda derivada con respecto al tiempo) para derivar la ecuación diferencial del péndulo. También muestra el origen de$\sin\theta$dependencia, que proviene de descomponer la fuerza gravitatoria en dos componentes perpendiculares. El$\sin\theta$componente es tangencial al arco trazado por el movimiento del péndulo y el único relevante para calcular el cambio de velocidad.

Además, para responder a su pregunta sobre la ubicación de "2" en la notación, debe pensar en$\mathrm{d}()/\mathrm{d}t$como un operador que actúa sobre cualquier función colocada dentro del$()$. Entonces$\mathrm{d}^2/\mathrm{d}t^2$se puede escribir como$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}())$.

Edite para mostrar la solución según lo solicitado por el OP : si realmente desea ver la solución, aquí hay una aproximación. Para facilitarnos la vida, debemos tomar esta ecuación diferencial no lineal de segundo orden y convertirla en lineal. Esto se logra utilizando las aproximaciones de ángulo pequeño$\sin(\theta)\sim\theta$mencionado por @MarkEichenlaub.

Tenemos:

$\frac{\mathrm{d^2}\theta}{\mathrm{d}t^2} + \frac{g}{l}\theta = 0$

La solución a tal ecuación será proporcional a$e^{\lambda t}$, dónde$\lambda$es una constante Sustituye eso en la ecuación:

$\frac{\mathrm{d^2}(e^{\lambda t})}{\mathrm{d}t^2} + \frac{g}{l}(e^{\lambda t}) = 0$

Para abreviar, estoy omitiendo algunos pasos, pero si trabajas en ello, deberías terminar con dos soluciones, la suma de las cuales será la solución general.

$\theta_1 = c_1 \times exp(-it\sqrt{g/l})$y$\theta_2 = c_2 \times exp(it\sqrt{g/l})$, dónde$i$es un número imaginario y aparece porque sacamos raíz cuadrada de un número negativo. Una vez más, después de omitir algunos pasos y usar la identidad de Euler, terminamos con la solución general (la suma de las dos soluciones) como

$\theta = c_1\times\cos(t\sqrt{g/l}) + c_2\times\sin(t\sqrt{g/l})$y ahí tienes$\theta$por un lado y$t$en el otro. Me temo que tendrá que pasar algún tiempo trabajando con las matemáticas para llegar a dónde y cómo llegamos a esta solución. Además, es válido siempre que la aproximación de ángulo pequeño sea válida.

La respuesta es que tendrás que aprender más matemáticas para entenderlo. Aquí hay una explicación aproximada:

Piense en una cuerda que cuelga del techo con un peso en la parte inferior. Eso es un péndulo, pero no tiene que oscilar en un plano como lo hace el péndulo de un reloj de pared. Puede moverse libremente, por lo que también puede dar vueltas en pequeños círculos.

Imagina dos de estas cosas una al lado de la otra. El de la izquierda va en pequeños círculos con un radio de 1 cm. El de la derecha se balancea hacia adelante y hacia atrás en un plano con una amplitud de 1 cm. Sin embargo, aparte de eso, mantienen un ritmo perfecto entre ellos.

La parte izquierda/derecha de un círculo es una función coseno; esa es la definición de coseno. Entonces, dado que los dos péndulos mantienen el mismo tiempo, el plano también se mueve de un lado a otro como una función coseno. (Su pregunta preguntaba por qué es una función sinusoidal, pero estas son esencialmente las mismas soluciones igualmente válidas).

Tenga en cuenta que esto solo funciona para ángulos pequeños. En ángulos más grandes, el péndulo circular y el péndulo izquierdo/derecho no se sincronizan perfectamente entre sí.

La razón esencial por la que ocurre esta asincronía es que en ángulos más grandes la tensión en la cuerda cambia significativamente a lo largo de un ciclo a medida que el péndulo se balancea hacia adelante y hacia atrás, pero en un péndulo que gira en círculo, la tensión es constante.

Entonces, de hecho, una función seno no es la solución precisa para la ecuación matemática que proporcionaste. Es solo una solución aproximada.

Esa ecuación es igual a

que es lo mismo que:

(De ahí es de donde proviene la notación). Esto es solo sinusoidal en la medida en que$\theta$es cercano a cero, donde$\sin\theta = \theta$.

Si la ecuación fuera:

entonces$\theta(t)$sería exactamente sinusoidal, como se podría probar por sustitución.

EDITAR: OK, a menos que pueda integrarse directamente, puede adivinar una solución para el ODE e intentarlo. Suponer$\theta(t) = a\sin(bt)$. Entonces la primera derivada wrt$t$es$ab\cos(bt)$la segunda derivada es$-ab^2\sin(bt)$. Entonces reemplazas y obtienes

que simplifica a

y resolviendo para$b$hace que ambos lados sean iguales. Entonces, al asumir$\theta$era sinusoidal, hicimos el balance de la ecuación diferencial.