¿Importancia del escalar de Kretschmann para espacios planos?

Si se le da un espacio-tiempo incrustado con un tensor métrico particular que satisface las ecuaciones de campo de vacío de la relatividad general, ¿cómo confirma que no está tratando simplemente con un espacio-tiempo de Minkowski que ha sido cambiado a través de alguna transformación de coordenadas exótica?

O, más específicamente, si tengo una solución exacta a las ecuaciones del campo de vacío que tiene un valor escalar de Kretschmann de 0 . ¿Es este solo el espacio-tiempo de Minkowski en un sistema de coordenadas diferente?

No necesariamente. Tome cualquier subconjunto del espacio de Minkowski o cocientes del espacio de Minkowski como contraejemplos.
Gracias @Slereah. ¿Puedes pensar en un ejemplo en lenguaje duro? Por ejemplo, el siguiente elemento de línea satisface las ecuaciones de campo ( d s ) 2 = . . . y tiene un escalar K de 0 pero no es equivalente al espacio de Minkowski. Soy un matemático aplicado y he estudiado GR completamente a través del cálculo tensorial y he evitado el geom diferencial, que a menudo puede ser mi perdición en estas situaciones.

Respuestas (1)

Un escalar de Kretschmann cero no significa que el tensor de Riemann sea cero. Por ejemplo, en la métrica de Kerr el signo de k puede cambiar a medida que avanzamos hacia el agujero negro, y eso significa que necesariamente pasa por cero. Para obtener detalles sobre esto, consulte este documento sobre el Arxiv .

Hay una discusión relacionada en Interpretación del escalar de Kretschmann .

En mi caso particular tengo un tensor de Riemann cero, un escalar de Kretschmann cero y también un tensor métrico que satisface de forma idéntica las ecuaciones del campo de vacío.
@Rumplestillskin si el tensor de Riemann es cero, el espacio-tiempo es Minkowski
Entonces, ¿describiría el tensor de Riemann, entre otras cosas, como un dispositivo para determinar si puede o no estar simplemente describiendo el espacio de Minkowski que puede expresarse en coordenadas exóticas?
@Rumplestillskin sí, calcular el tensor de Riemann es la única guía segura. No importa cuál sea su sistema de coordenadas, el tensor de Riemann siempre será cero para el espacio-tiempo de Minkowski.
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