¿Podemos construir una teoría relativista de la gravedad lógicamente autoconsistente simplemente ajustando EM?

Question

¿Podemos construir una teoría relativista de la gravedad lógicamente autoconsistente simplemente ajustando EM?

parker

Esta pregunta considera una modificación del E&M clásico donde simplemente invertimos el signo relativo en las ecuaciones de Maxwell y cambiamos el " $q$ " en la ley de fuerza de Lorentz a un " $m$ ":

\partial_{m} F^{m v} = - j_{metro}^{v}, (F_{i})^{m} = {metro}_{i} F_{v}^{m} (X_{i}) ({tu}_{i})^{v},

$\partial_\mu F^{\mu \nu} = -J_m^\nu, \qquad (F_i)^\mu = m_i F^\mu_{\ \ \ \nu}(x_i) (U_i)^\nu,$ donde el

i

$i$ 's en la ley de fuerza de Lorentz modificada indexa las partículas fuente.

J_{m}

$J_m$ ahora se interpreta como una corriente de densidad de masa en lugar de una corriente de densidad de carga.

Esta teoría ciertamente se descarta por completo experimentalmente y, como señalan varias de las respuestas, es ambigua con respecto a cómo se deben tratar las partículas sin masa, ya que la versión relativista de la segunda ley de Newton realmente no se aplica a las partículas sin masa.

El OP hace la pregunta bastante vaga "¿Qué pasa con este enfoque de la gravitación que no funciona?", Por lo que las respuestas van en muchas direcciones diferentes, ninguna de las cuales creo que captura la verdadera pregunta del OP. Permítanme tratar de hacer su pregunta más precisa:

A priori, ¿es esta teoría una generalización relativista autoconsistente lógicamente posible de la gravedad newtoniana (dejando de lado el tratamiento de las partículas sin masa)?
(Estrechamente relacionado) ¿Podría haber sido rechazado de inmediato en 1915 (el año en que Einstein propuso GR) basado en datos experimentales cualitativos , sin siquiera necesitar hacer ningún cálculo? (No estoy tratando de entrar en la maleza de lo que se sabía exactamente en el año 1915 con esta pregunta. Lo que realmente quiero decir es que, antes de que hubiera alguna evidencia experimental de la aberración gravitacional de la luz, ¿alguien podría descartar esta teoría de inmediato ? , o ¿necesitarían hacer un cálculo cuantitativo de la magnitud de las correcciones a la gravedad newtoniana?)
Si no, ¿alguien consideró alguna vez esta teoría como una posible teoría relativista de la gravedad antes de que los experimentos de precisión validaran GR como una teoría mejor?

(Puede haber alguna duda de lo que sucede con el ${\bf v} \times {\bf B}$ parte de la ley de fuerza de Lorentz. Sé que el "límite no relativista de EM" es un tema sutil, pero creo que si tienes cuidado, este término se vuelve insignificante en el límite. $v \ll c$ ; por ejemplo, en unidades CGS, este término se suprime por un factor de $c$ en relación con el término eléctrico en la ley de fuerza de Lorentz.)

parker

Para evitar el comentario inevitable: sí, sé que la tercera pregunta puede encajar mejor en la red History of Math and Science SE.

knzhou

No veo cómo funciona la primera ecuación. En electromagnetismo,

J^{μ}

$J^\mu$ debe ser un campo de cuatro vectores. Pero su reemplazo

P^{μ}

$P^\mu$ es solo un solo cuatro vector, es decir, el total de cuatro impulsos. Si quisiera usar la densidad de cuatro impulsos, tendría que usar

T^{μ 0}

$T^{\mu 0}$ , que no es un cuatrivector y, por lo tanto, la teoría no es invariante de Lorentz. Por lo tanto, habría sido rechazado de plano por los pioneros de la relatividad general, que buscaban explícitamente una teoría relativista de la gravedad. Por otro lado, con esa modificación podría parecerse al gravitomagnetismo.

parker

@knzhou Sí, eso se me ocurrió. Pero me pregunto si hay una manera de hacer

P^{μ}

$P^\mu$ en un campo de cuatro vectores. Ciertamente, esta sería una teoría muy diferente de GR o cualquier otra teoría en física, pero no veo de antemano por qué no puede ser posible.

knzhou

Bien, ya veo, entonces la densidad de corriente se puede definir reemplazando

q

$q$ con masa invariante

m

$m$ . Esta teoría es como una versión un poco más refinada de la teoría de la gravedad de Nordstrom , tal vez la discusión en esa página sea útil. Creo que hay muchas maneras de obtener una teoría invariante de Lorentz que se parezca a la gravedad newtoniana en el límite no relativista, pero las objeciones planteadas en ese momento eran similares a, por ejemplo, exigir que las ecuaciones sean no lineales para satisfacer el principio de equivalencia fuerte.

usuario1379857

Hay una discusión realmente maravillosa de estas preguntas al comienzo del libro de texto de Feynman sobre relatividad general, donde repasa los hechos que descartarían las partículas sin espín 2 que median la gravedad, con todo tipo de observaciones originales.

parker

@user1379857 ¿Sabes cuáles de esos hechos ya se conocían en 1915? ¿Solo el signo de la precesión del perihelio de Mercurio? (No tengo ese libro.)

Respuestas (3)

¿Podemos construir una teoría relativista de la gravedad lógicamente autoconsistente simplemente ajustando EM?

Para evitar el comentario inevitable: sí, sé que la tercera pregunta puede encajar mejor en la red History of Math and Science SE.
No veo cómo funciona la primera ecuación. En electromagnetismo, $J^\mu$ debe ser un campo de cuatro vectores. Pero su reemplazo $P^\mu$ es solo un solo cuatro vector, es decir, el total de cuatro impulsos. Si quisiera usar la densidad de cuatro impulsos, tendría que usar $T^{\mu 0}$ , que no es un cuatrivector y, por lo tanto, la teoría no es invariante de Lorentz. Por lo tanto, habría sido rechazado de plano por los pioneros de la relatividad general, que buscaban explícitamente una teoría relativista de la gravedad. Por otro lado, con esa modificación podría parecerse al gravitomagnetismo.
@knzhou Sí, eso se me ocurrió. Pero me pregunto si hay una manera de hacer $P^\mu$ en un campo de cuatro vectores. Ciertamente, esta sería una teoría muy diferente de GR o cualquier otra teoría en física, pero no veo de antemano por qué no puede ser posible.
Bien, ya veo, entonces la densidad de corriente se puede definir reemplazando $q$ con masa invariante $m$ . Esta teoría es como una versión un poco más refinada de la teoría de la gravedad de Nordstrom , tal vez la discusión en esa página sea útil. Creo que hay muchas maneras de obtener una teoría invariante de Lorentz que se parezca a la gravedad newtoniana en el límite no relativista, pero las objeciones planteadas en ese momento eran similares a, por ejemplo, exigir que las ecuaciones sean no lineales para satisfacer el principio de equivalencia fuerte.
Hay una discusión realmente maravillosa de estas preguntas al comienzo del libro de texto de Feynman sobre relatividad general, donde repasa los hechos que descartarían las partículas sin espín 2 que median la gravedad, con todo tipo de observaciones originales.
@user1379857 ¿Sabes cuáles de esos hechos ya se conocían en 1915? ¿Solo el signo de la precesión del perihelio de Mercurio? (No tengo ese libro.)

AVS · Answer 1

Como sugiere un comentario de @knzhou, $P^μ$ no puede ser (proporcional) a 4-momentum. Pero podría ser algún tipo de corriente de "densidad de materia".

Lo que realmente no sería consistente es la "ley de fuerza de Lorentz" que se pone aquí solo a mano. La ley de fuerza no es una ecuación independiente (a pesar de que Einstein lo pensó originalmente), sino que sigue el procedimiento de limitación de las ecuaciones de campo autoconsistentes en presencia de fuentes puntuales.

Si cambiamos el signo de la corriente en la "ecuación de Maxwell", aún obtendríamos la teoría EM, pero las cargas positivas ahora se denominan negativas y viceversa. Y esto significa que la densidad de energía de campo para tal supuesta "teoría de la gravedad de Maxwell" en la aproximación newtoniana sería

{tu}_{MGT}^{'} = \frac{1}{8 π GRAMO} | \nabla Φ |^{2},

$U'_\text{MGT}=\frac{1} {8\pi G} |\nabla \Phi|^2,$ Dónde

Φ

$\Phi$ es el potencial gravitacional. Esto significa que la energía total de dos cargas puntuales juntas sería mayor que la energía de las mismas cargas separadas a gran distancia, lo que a su vez significa que las cargas similares se repelen.

Para ser consistente con el límite de gravedad newtoniano, la densidad de energía del campo gravitatorio estático (o cuasiestático) debe ser negativa :

{tu}_{NG} = - \frac{1}{8 π GRAMO} | \nabla Φ |^{2},

$U_\text{NG}=- \frac{1} {8\pi G} |\nabla \Phi|^2,$ lo que garantizaría fuerza de atracción para cargos similares. Esto podría lograrse con la teoría del campo escalar (como la teoría candidata de la gravitación de Nordström) o el campo tensorial (como GR), pero no con el campo vectorial.

Actualización: aquí se puede encontrar una prueba de una relación entre atracción/repulsión entre cargas similares y el giro del campo mediador:

Jagannathan, K. y Singh, LPS (1986). Atracción/repulsión entre cargas iguales y el espín del campo mediador clásico . Revisión física D, 33(8), 2475, doi:10.1103/PhysRevD.33.2475 .

Bajo supuestos de

invariancia de la teoría de Poincaré,
existencia de la formulación lagrangiana,
ecuación kg $(\partial^2 +m^2)A_{…}=0$ para el giro mediador– $s$ campo $A_{…}$ en ausencia de fuentes,
interacción Lagrangiana de la forma $J^{…} A_{…}$ ,
simetría rotacional/ausencia de dirección intrínseca para la fuente $J^{…}$ ;

la energía potencial entre dos cargas iguales $e$ y $e'$ tiene la forma:

(-)^{s + 1} mi {mi}^{'} \times (numero positivo) \times \frac{Exp (- metro r)}{r} .

$(-)^{s+1} e e' × (\text{positive number}) × \frac{\exp(-mr)}r.$

La demostración consiste en analizar la expresión de la densidad de energía del campo $A$ después de imponer condiciones adecuadas de fijación del calibre (por ejemplo, variante del calibre de Coulomb). La energía debe tener el término $(\partial_0 A_{i_1 i_2 …})^2$ con un signo más (este es el término "cinético" presente para las oscilaciones de campo libre). Pero esto significaría que el término con gradientes espaciales de potencial de Coulomb $(\partial_i A_{00…})^2$ (y este es el término que contribuye a la energía potencial de las cargas puntuales estáticas) ganaría en general $(-1)^{s+1}$ firmar debido a $s+1$ veces elevando los índices.

¿Por qué los campos escalares y tensoriales pueden atraer pero no los campos vectoriales?
@tparker: vea la actualización (y el artículo citado para más detalles).
Interesante, aunque si esto se consideraba una investigación publicable en 1986, presumiblemente no se entendía bien en 1913.

Andrés Steane · Answer 2

Andrés Steane

La respuesta perspicaz de AVS brinda la mayor parte de la información aquí. Simplemente deseo agregar que un factor de configuración importante para una teoría de la gravedad no era solo que fuera covariante y redujera al límite derecho newtoniano, sino que tendría incorporado el principio de equivalencia. Creo que si insiste en esto último, entonces serás conducido al GR de Einstein (o algo más complicado).

parker

¿Sabe por qué se deseaba tanto el principio de equivalencia antes de las pruebas de precisión de GR? Me pregunto por qué la teoría escalar de la gravedad de Nordstrom de 1913 (que acabo de conocer) nunca despegó (que yo sepa), aunque a priori me parece un candidato razonable para una teoría relativista de la gravedad. ¿Fue simplemente que la teoría de Nordstrom predijo la dirección equivocada de la precesión del perihelio de Mercurio?

Andrés Steane

Solo tengo una impresión de la historia, pero esa impresión es que a Einstein desde el principio le llamó la atención la forma en que la gravedad actúa como una fuerza de inercia, lo que a su vez lo llevó a pensar en marcos aceleradores como el disco giratorio, que, con SR "en mano" condujo a coordenadas generalizadas y geometría de Riemann. Una vez que estás pensando geométricamente, la métrica es central y el resto es historia...

parker

Sí, según mi comprensión de la personalidad de Einstein, estoy seguro de que él mismo estaba motivado principalmente por la elegancia de una teoría geométrica. Pero estoy un poco sorprendido de que nadie más en la comunidad científica en general parecía haber preferido la teoría de Nordstrom sobre la base pragmática de que era más simple que GR. Nunca he oído que este sea un debate activo dentro de la comunidad científica, pero no conozco muy bien la historia.

Ideal Máximo · Answer 3

He estado pensando en esta pregunta durante bastante tiempo. Publiqué una respuesta en la página que vinculaste donde trato de responder en el espíritu de la pregunta de OP. Aunque no hay una contradicción a priori , la teoría conduce a patologías no físicas (por ejemplo, la energía del campo puede volverse no definida positiva).

Si alguien propusiera una teoría de la gravedad en forma de "ecuaciones de Maxwell reempaquetadas", lo desafiaría a explicar cómo evade las posibilidades n. ° 1, n. ° 2 y n. ° 3 de mi publicación.

No sé si estos temas exactos fueron considerados por Einstein y sus compañeros en ese momento, pero he visto el nombre de Oliver Heaviside adjunto a los tipos de teorías de la gravedad propuestas en su publicación y la publicación que vinculó, pero no puedo dar más detalles que eso.

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