Una declaración que es demostrable es muy diferente de que sea una inconsistencia de la teoría.

Si se demuestra que una declaración conduce a una inconsistencia, entonces puede usarla para probar declaraciones y su declaración inversa, lo que arroja una mala sombra sobre todas las declaraciones en la teoría. Incluso entonces, no desea abandonar la teoría, sino examinar qué llevó a que la declaración de la manzana podrida sea demostrable, y tal vez eliminar los axiomas incorrectos.

Si una declaración es indemostrable en alguna teoría, pero muchas otras declaraciones son demostrables, entonces algunas personas podrían pensar "eso apesta", pero esto no implica que habrá una incoherencia. De lo contrario, sabríamos que la aritmética será inconsistente. Así que llegar a este punto no implica en absoluto que debas dejar de preocuparte por ese modelo.

¿Apoyan los teoremas de incompletitud de Gödel la idea de que el examen de un 'sistema' sólo debe emprenderse para llegar a la inconsistencia?

La teoría de las ecuaciones diferenciales (con todas sus facetas y conexiones con otros temas como la topología y las cuestiones de existencia pura) es una que incorpora claramente la aritmética y también problemas matemáticos mucho más grandes heredados de su base teórica establecida. Todavía queda mucho por descubrir acerca de las ecuaciones diferenciales y las soluciones se necesitan en física para construir su iPod. ¿Debe examinarse el 'sistema' sólo para encontrar inconsistencias en él? ¡No si quieres un iPod nuevo! ¿Por qué "el examen de un 'sistema'... sólo debe emprenderse para llegar a la inconsistencia"? Las matemáticas no se hacen por las matemáticas, por la mayoría de las personas que las hacen.

En ese sentido, me parece problemático que preguntes por el propósito de una actividad humana aquí. La consecuencia del descubrimiento de una inconsistencia es simplemente otra declaración sobre el modelo particular o similares. "Inválido", como se usa comúnmente, es una palabra extraña en este contexto (que no debe confundirse con el término técnico válido en lógica). Porque hay varias teorías similares, con las que haces operaciones aritméticas y aritméticas. Si algo en un 'sistema' es verdadero, digamos la declaración "2+3=5", y la teoría en su conjunto resulta ser inválida, todavía usaría "2+3=5". De manera similar, algo que está mal en una lógica o teoría particular no implica algo sobre la validez de "la misma" declaración en otras teorías, donde "validez"

Si una declaración no es demostrable, puede o se desarrollará una inconsistencia o autocontradicción que invalide el sistema.

Ese no es el caso.

De alguna manera está mezclando el primer y el segundo teorema de incompletitud y sacando una conclusión engañosa. Dicho brevemente:

1. El primer teorema prueba que todas las formulaciones axiomáticas consistentes de la teoría de números que incluyen la aritmética de Peano (o más fuerte) incluyen proposiciones indecidibles.

2. El segundo teorema prueba que ningún sistema axiomático consistente que incluya la aritmética de Peano (o más fuerte) puede probar su propia consistencia.

Que el sistema axiomático pueda ser inconsistente o no, nada tiene que ver con la existencia de proposiciones indecidibles en ese sistema. La inconsistencia y lo incompleto no están relacionados de esa manera.

Sin embargo, una relación que se cumple es la siguiente: cualquier sistema axiomático inconsistente es completo , a través del principio de explosión .

¿Debería ser la llegada a este punto el centro del examen de cualquier sistema?

No veo ninguna razón en particular que deba ser así, ni puedo ver cómo el teorema de Gödel proporciona un imperativo moral sobre cómo se debe tratar un sistema, o qué aspectos deben ser objeto de examen.

Personalmente, creo que es bueno que no exista tal imperativo, ya que ciertos sistemas (digamos, los de las matemáticas) son increíblemente útiles, y odiaría ver el examen de ellos innecesariamente limitado.