cada subgrupo compacto propio del grupo circular es finito

dejar T ser el grupo circular y H ⊊ T sea ​​un subgrupo propio y compacto . estoy tratando de mostrar eso H debe ser finito usando solo argumentos topológicos, pero tengo problemas para hacerlo.

entonces quiero mostrar eso 1 está aislado en H , como entonces H es discreto y compacto, por lo tanto, finito. pero que si 1 pasa a ser un punto límite de H ? ¿Alguien tiene alguna idea?

fondo _ Estoy tratando de dar un argumento de alto nivel de por qué ⟨ X ⟩ ⊆ T debe ser denso para todos los elementos de orden infinito X ∈ T . Soy consciente de los argumentos de análisis de bajo nivel para esto, pero no estoy interesado en ellos.

Respuestas (2)

Considere el mapa

Π : R ⟶ T X ↦ ( porque ⁡ ( X ) , pecado ⁡ ( X ) ) ,
que es un homomorfismo de grupo continuo sobreyectivo. Si GRAMO es un subgrupo de T , Π − 1 ( GRAMO ) es un subgrupo de ( R , + ) . Pero cada subgrupo de ( R , + ) es denso o de la forma Z λ , para algunos λ > 0 . Si GRAMO es compacto, entonces es cerrado, y por lo tanto Π − 1 ( GRAMO ) también está cerrado. Si fuera denso, entonces tendría que ser igual a R . Pero entonces GRAMO sería igual a S 1 , y se supone que ese no es el caso. Entonces, Π − 1 ( GRAMO ) = Z λ , para algunos λ ∈ R . ¿Puedes tomarlo desde aquí?

gracias. No. (1) que todo subgrupo aditivo de R es denso o cíclico no me queda claro (y ese problema me parece bastante similar a la pregunta que hice). (2) aún así, digamos que ahora tengo eso GRAMO es cíclico y compacto. ¿Cómo puedo concluir que es finito? aun no lo veo
(1) Si H es un subgrupo de R con H ≠ { 0 } , llevar λ = inf ( H ∩ ( 0 , ∞ ) ) . Si λ = 0 , entonces H es denso; de lo contrario, H = Z λ . (2) Si H = Z λ entonces, desde 2 π ∈ H , 2 π = norte λ para algunos norte ∈ Z . Y luego
Π ( H ) = { ( 1 , 0 ) , Π ( 2 π norte ) , Π ( 4 π norte ) , … , , Π ( 2 ( norte − 1 ) π norte ) } .
gracias. ya veo como (2) Π − 1 ( GRAMO ) ser cíclico implica que GRAMO debe ser finito, pero todavía tengo que pensar en (1) un poco. me parece que el quid del problema está ahí (al que se reduce claramente por lo que has hecho).
Suponer que λ = 0 y tomar a , b ∈ R con a < b . Si a < 0 < b , entonces 0 ( ∈ H ) pertenece a ( a , b ) . Si 0 < a < b , llevar h ∈ H ∩ ( 0 , ∞ ) con h < b − a . Dejar norte ∈ norte sea ​​el entero no negativo más grande con norte h ⩽ a . Entonces ( norte + 1 ) h > a y
b − ( norte + 1 ) h = b − norte h − h ⩾ b − a − h > 0.
Entonces, ( norte + 1 ) h ∈ ( a , b ) .
Y si λ > 0 , hay elementos de H arbitrariamente cerca de λ y mayor o igual que λ . Si λ ∉ H , llevar h 1 , h 2 ∈ ( λ , 2 λ ) ∩ H , con h 1 < h 2 que 0 < h 2 − h 1 < λ , lo cual es imposible. Entonces, λ ∈ H . Llevar h ∈ H . Si h ∉ Z λ , llevar norte ∈ Z con norte λ < h < ( norte + 1 ) λ . Pero entonces 0 < h − norte λ < λ , que, de nuevo, es imposible.

Si 1 no está aislado, entonces hay una secuencia de elementos gramo i ∈ H ∖ { 1 } convergiendo a 1 . Eso significa GRAMO i = ⟨ norte gramo i ∣ norte ∈ Z ⟩ ⊂ H porque H es un subgrupo. Ahora solo muestra eso ⋃ i ≥ 1 GRAMO i es denso en S 1 .

¿Cómo es eso más fácil?
Dejar tu ser un subconjunto abierto del círculo. Contiene una pelota, digamos [ s , t ] . Sólo toma gramo i de modo que d ( gramo i , 0 ) < | t − s | . Entonces debe haber un norte tal que norte gramo i ∈ [ s , t ] . Por eso ⋃ GRAMO i es denso (Usar la notación de intervalos ya que es más fácil que trabajar con exponenciales, así que implícitamente estoy pensando en S 1 como [ 0 , 1 ] / ∼ )
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