¿Existe una métrica conocida que produzca una ley de fuerza 1/r1/r1/r?

Una publicación en reddit me inspiró a mí y a otro colaborador a preguntarnos si existe una métrica que produzca una 1 / r ley de fuerza, o potencial logarítmico, al menos en el gran r límite (si no exactamente). ¿Se conoce alguna métrica de este tipo? ¿O hay alguna razón por la que no puede existir?

Normalmente miraría el espacio-tiempo 2+1D, porque la fuerza gravitatoria newtoniana en 2D es 1 / r , pero eso ha sido calculado y no hay fuerza gravitacional alguna en 2+1D GR. El espacio-tiempo alrededor de una masa puntual es plano con un defecto de ángulo .

Para que quede claro, quieres un gravitacional 1 / r ley de fuerza , ¿no? Porque la ley de Coulomb en 2+1D debería ser 1/r sin trampas.
@ACuriousMind Sí, es correcto, estoy hablando de la ley de la fuerza gravitacional. Lo aclararé en la próxima edición.
Comentario a la publicación (v2): ¿Necesita que la métrica satisfaga las ecuaciones de campo de vacío de Einstein en su mayor parte? Si no, se convierte en un ejercicio para determinar un tensor de distribución de materia/tensión-energía-momento. T m v que da lugar a un 1 / r ley de fuerza en el bulto.
@Qmechanic Hm, bueno, supongo que la intención era tener una métrica que satisficiera las ecuaciones del campo de vacío fuera de alguna región de extensión finita en al menos una dimensión. Aunque como no mencioné eso, probablemente no debería agregarlo como un requisito en esta etapa tardía.
Gravedad en 2 + 1 dimensión con una constante cosmológica es más o menos esto. Es fácil de replicar en 3 + 1 dimensión considerando la métrica de una cuerda cósmica con una constante cosmológica, creo.

Respuestas (1)

Supongo que desea que su métrica sea de simetría esférica y tienda asintóticamente al espacio-tiempo plano. En ese caso quieres algo como:

d s 2 = − a ( r ) d t 2 + d r 2 b ( r ) + d Ω 2

donde ambos a ( r ) y b ( r ) tengo que tender a uno para grandes r .

A 1 / r la ley de fuerza va a requerir que el símbolo de Christoffel Γ t t r es aproximadamente 1 / r . Un golpe rápido de Mathematica más tarde y obtengo:

Γ t t r = − 1 2 b ( r )   d a ( r ) d r

Como revisión rápida, para la métrica de Schwarzschild esperamos Γ t t r es aproximadamente 1 / r 2 para dar la ley del cuadrado inverso. Para esta métrica:

a ( r ) = b ( r ) = 1 − 2 GRAMO METRO C 2 r

Asi que:

Γ t t r = − ( 1 − 2 GRAMO METRO C 2 r ) GRAMO METRO C 2 r 2

y en el limite de r → ∞ obtenemos Γ t t r ∝ 1 / r 2 como esperamos Hasta aquí todo bien.

Entonces solo necesitas encontrar dos funciones a ( r ) y b ( r ) tal que ambos tienden a la unidad en general r y:

b ( r )   d a ( r ) d r ≈ 1 r

para grande r . Por lo general, buscaría funciones como 1 + F ( r ) dónde F ( r ) se vuelve pequeño en grande r y d F / d r ∝ 1 / r , pero eso daría F = en ⁡ ( r ) y eso no va a la unidad en general r . Sin duda, nuestros matemáticos más experimentados pueden pensar inmediatamente en una solución, pero debo confesar que no se me ocurre nada.

Esto es correcto. Y no hay nada malo con su solución. Es esféricamente simétrico, pero no asintóticamente plano. Tampoco es una solución de vacío, lo que probablemente explica por qué no es asintóticamente plana. Dado que no es asintóticamente plano, su "masa ADM" (entre comillas porque la masa ADM requiere planitud asintótica) es infinita. Este es un universo físicamente razonable, pero de ninguna manera es nuestro universo.
Si en el limite r → ∞ tenemos b ( r ) → 1 entonces debemos tener d a ( r ) / d r ∼ r − 1 en ese caso a ( r ) ∼ Iniciar sesión ⁡ ( r ) pero ninguna función se aproxima a la unidad como r → ∞ . Entonces, ¿parece seguir que la respuesta es 'no, no existe tal métrica'?
La simetría esférica FWIW no es un requisito. Supongo que me quedaría con algún tipo de simetría rotacional (quizás cilíndrica). La planitud asintótica estaría bien, pero parece que eso no va a funcionar. Realmente no había considerado estos problemas en detalle al hacer la pregunta.
¿Podría una función que es ln(r) la mayor parte del tiempo pero con la suficiente frecuencia se sumerge y se convierte en unidad antes de volver a convertirse en ln(r) cumplir ambos criterios?
¿Existe una métrica conocida que produzca una ley de fuerza 1/r1/r1/r?
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