Significado de las métricas "físicas" y "gravitatorias"

Sí.

La respuesta corta es que tienes una acción que extremas para obtener la ecuación de campo de Einstein$G_{\alpha\beta}=kT_{\alpha\beta}.$Que puedes considerar como ecuaciones de movimiento para la métrica gravitacional$g_{\alpha\beta}.$(Determinan las segundas derivadas de la métrica en términos de los campos de materia y la métrica y las primeras derivadas de la métrica). Y tienes una acción diferente que extremas para obtener las ecuaciones de movimiento de la materia (en lugar de que se muevan en geodésicas en la métrica gravitatoria). Entonces es como si hubiera una geometría diferente que usas para descubrir cómo se mueve la materia.

Para comparar el enfoque de dos geometrías con GR, primero entraré en algunos detalles sobre cómo se usa generalmente GR (con más detalle de lo que quizás desee ver). Esto es para fines de contraste y comparación. Simplemente omita el siguiente párrafo si la forma en que generalmente se practica GR es demasiado molesta y necesita continuar. Personalmente, no sé por qué el enfoque de dos geometrías sería necesario o incluso deseable, pero si puede estar de acuerdo con las observaciones realizadas hasta ahora, no lo juzgaré de antemano.

En GR, las partículas fiduciarias (o partículas de prueba) son partículas que tienen una masa que se desvanece, un espín que se desvanece y una carga que se desvanece, etc. no están sujetos a interacciones además de la gravedad, viajan en geodésicas en el espacio-tiempo de fondo a cuya curvatura contribuyen. Al menos esa es la historia que a la gente le gusta contar. Es difícil incluso hacer que sea lo suficientemente preciso como para que sea correcto o incorrecto y no hay partículas de prueba en la naturaleza, por lo que los detalles siempre serán imposibles de probar mediante experimentos. Es más aplicable si realiza GR en un límite de dinámica de fluidos para sus fuentes de materia. Luego, tiene un elemento fluido con propiedades a granel y los componentes dentro de un elemento pueden ser partículas de prueba como una densidad continua de materia.

Así que esa es la historia al menos, las cosas se mueven en geodésicas cuando es solo gravedad. Pero podría mirar la Ecuación de campo de Einstein y decidir que quiere que la geometría del espacio-tiempo evolucione de manera consistente con eso, de modo que$G_{\alpha\beta}=kT_{\alpha\beta}.$Pero entonces podría decir que no quiere que estas partículas de prueba se muevan en las geodésicas. Ese es su derecho si puede hacer que esté de acuerdo con las observaciones hasta ahora.

Por lo tanto, el enfoque de dos geometrías para la formulación de la teoría gravitacional es un paradigma importante. Siempre que sea necesario formular una nueva teoría de la gravedad, una forma conservadora de proceder para evitar un conflicto inmediato con las pruebas de GR es invocar una métrica de Riemann.$g_{\alpha\beta}$, construya la acción de Einstein-Hilbert para la dinámica de la geometría a partir de ella, y efectúe la desviación del GR estándar prescribiendo la relación entre$g_{\alpha\beta}$y la geometría física sobre la que se propaga la materia. La mayoría de las teorías conocidas asumen que la relación es una simple transformación conforme.

Luego, en la parte inferior de la página 4, el autor afirma que la dinámica de las partículas se determina extremando

Así que todavía tienes una métrica que hace$G_{\alpha\beta}=kT_{\alpha\beta}$y puedes pensar en eso como ecuaciones de movimiento para la métrica gravitatoria (la que hace$G_{\alpha\beta}$) cuando se da$T_{\alpha\beta}.$Pero entonces puede haber otra geometría para la cual$S=\frac{1}{2}\int g_{\alpha\beta}\dot x^\alpha \dot x^\beta F(I,H,\Psi)d\lambda$se extremiza y esa geometría le dice a la materia cómo moverse.

Este es el aspecto esencial de un enfoque de dos geometrías. Y puede hacerlo para que las partículas sin masa libres (las sin masa reales que eran sin masa para empezar, no las partículas de prueba fiduciarias que se movían en "curvas" similares al tiempo, incluso cuando pretendía tomar el límite de sin masa), cuando se someten a la la segunda geometría para obtener dinámica seguirá moviéndose en curvas con tangentes nulas que son nulas en la primera geometría. Pero, en general, las trayectorias de las partículas en una teoría de dos geometrías no son geodésicas. De nuevo, del mismo periódico.

No requerimos que las trayectorias que terminan S en la geometría de Finsler coincidan con las geodésicas de$g_{\alpha\beta}.$No existe una base física para tal suposición en nuestro contexto: la métrica$g_{\alpha\beta}$es para fenómenos gravitacionales, mientras que la geometría de Finsler es para la dinámica de la materia.

Así que una métrica para la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse y otra diferente para decirle a la materia cómo moverse. Y luego puede entrar en detalles sobre cómo se relacionan entre sí.