¿Existe una lógica modal intrínseca y oculta dentro de las álgebras booleanas ordinarias (abstractas)?
No cuestiono si las álgebras interiores o de cierre son álgebras booleanas. Tampoco busco una explicación de lo que es o hace la lógica modal. Mi pregunta está más bien motivada por la observación de que la probabilidad (claramente un concepto modal) se define en un álgebra no modal (un álgebra booleana ordinaria que forma la semántica algebraica del cálculo proposicional clásico de dos valores).
Tal vez sea simplemente porque no se requieren álgebras interiores o de cierre. Después de todo, los matemáticos no necesitan preocuparse por la naturaleza filosófica de la probabilidad. ¿O, quizás, es porque usar (por ejemplo) un álgebra de cierre traería más inconvenientes que ventajas cuando se trata del desarrollo de la teoría matemática de la probabilidad? ¿O, tal vez, es porque ya existe una modalidad (oculta) incrustada en las álgebras booleanas ordinarias (quizás aún por descubrir)?
No creo que haya una lógica modal oculta en la lógica ordinaria. La lógica modal requiere la introducción de un nuevo operador (y, por lo tanto, se basa en la lógica ordinaria, pero es distinta de ella), al igual que las probabilidades requieren la introducción de una medida asociada con las proposiciones a través de nuevos axiomas. A lo sumo, la lógica modal se puede trivializar en lógica ordinaria asumiendo $ \Box p \eq p $. De manera similar, las probabilidades se pueden trivializar en la lógica ordinaria suponiendo que solo pueden tomar dos valores (0 o 1).
La probabilidad es un concepto modal pero no sé si se puede representar con lógica modal, porque necesitarías una medida de los mundos posibles, mientras que la lógica modal solo tiene una relación de accesibilidad (algo es posible o no, no "más o menos posible").
Finalmente, el aspecto modal de las probabilidades depende de la interpretación. Por ejemplo, las interpretaciones frecuentistas no necesitan mundos posibles y conceptos modales: las probabilidades son solo una relación entre un número de eventos de un tipo y una clase de referencia.
Puedes pensar en el cálculo de probabilidades y el álgebra interior como una maquinaria matemática. La interpretación modal viene después.
Tenga en cuenta que la lógica modal se puede usar en la teoría de la prueba (que está relacionada con la lógica), pero no creo que eso sea lo que estaba buscando.
Mauro ALLEGRANZA