Alguien me puede ayudar a demostrar la Ley de De Morgan. En mi clase de lógica estamos usando un conjunto muy básico de reglas para las derivaciones y por mi vida no puedo averiguar cómo probar la ley con ellas. No es tarea; mi TA me dio problemas adicionales para practicar para el examen parcial. Por cierto, sé que este artículo hace la misma pregunta, pero no entiendo la notación, así que no sé si están restringidos a las mismas reglas.
Demuestre p&q <-> ~(~pV~q) y/o pvq <-> ~(~p&~q) usando solo estas reglas: &Intro/Elim, vIntro/Elim, ~Intro/Elim, ->Intro/Elim, <->Introducción/Elim. Utilice también esta notación.
Por lo que puedo decir, la prueba debería verse así:
|pVq Hyp
|-
||~p&~q Hyp[for ~Intro]
||-
||~p &Elim[~p^~q]
||q **I'm not sure how to prove that ~p -> q with the limited rules**
||~q &Elim[~p^~q]
|~(~p&~q) ~Intro[~p&~q, q, ~q]
Estás en el camino correcto.
De la suposición [a] : ¬p ∧ ¬q usted deriva correctamente ¬p y ¬q por ∧-Eliminación :
1) p ∨ q --- premisa
2) ¬p ∧ ¬q --- asumido [a]
3) ¬p --- de 2) por ∧-Elim
4) ¬q --- de 2) por ∧-Elim
5) p --- asumido [b] para ∨-Eliminación
6) ⊥ --- contradicción, de 3) y 5)
7) q --- asumido [c] para ∨-Eliminación
8) ⊥ --- contradicción, de 4) y 7)
9) ⊥ --- de 1), 5)-6) y 7)-8) por ∨-Eliminación, descargando [b] y [c]
10) ¬(¬p ∧ ¬q) --- de 2) y 9) por ¬-Introducción, descargando el supuesto [a]
(p ∨ q) → ¬(¬p ∧ ¬q) --- de 1) y 10) por →-Introducción.
Para probar :
¬(¬p ∧ ¬q) → (p ∨ q) ,
nosotros necesitamos :
1) ¬(¬p ∧ ¬q) --- premisa
2) ¬(p ∨ q) --- asumido [a]
3) p --- asumido [b]
4) p ∨ q --- por ∨-Introducción
5) ¬p --- de 3) por ¬-Introducción y la contradicción entre 2) y 4), descargando [b]
6) q --- asumido [c]
7) p ∨ q --- por ∨-Introducción
8) ¬q --- de 6) por ¬-Introducción y la contradicción entre 2) y 7), descargando [c]
9) ¬p ∧ ¬q --- de 5) y 8) por ∧-Introducción
10) ¬¬(p ∨ q) --- de 2) por ¬-Introducción y la contradicción entre 1) y 9), descargando [a]
11) (p ∨ q) --- de 10) por Doble Negación -Eliminación
¬(¬p ∧ ¬q) → (p ∨ q) --- de 1) y 11) por →Introducción.
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Cort Amón