¿Existe una interpretación física de las condiciones de contorno de Neumann para la ecuación libre de Schrödinger en un dominio?

Sea la función de onda$\Psi$ser definido en el dominio$D \in \mathbb{R}^n$. La condición de Neumann$\frac{\partial \Psi} {\partial {\bf n}} = 0$en el límite$\partial D$tiene una interpretación simple en términos de la corriente de probabilidad de$\Psi$. Para$\Delta \Psi = i \partial\Psi/\partial t$(aunque generalmente se toma como$i \partial\Psi/\partial t = - \Delta \Psi$), la corriente de probabilidad en un punto arbitrario${\bf x} \in \mathbb{R}^n$es

$${\bf j}({\bf x}) = i [ \Psi^*({\bf x}){\bf \nabla}\Psi({\bf x}) - \Psi({\bf x}){\bf \nabla}\Psi^*({\bf x}) ]$$ y la corriente normal en $\partial D$lee $${\bf n} \cdot {\bf j} = i\; [ \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial {\bf n}} - \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial {\bf n}} ]$$ (tiene el signo incorrecto, lo sé, pero consideré la forma OP de Sch.eq. como $\Delta \Psi = i \partial\Psi/\partial t$).

Ajuste$\frac{\partial \Psi} {\partial {\bf n}} = 0$asciende a${\bf n} \cdot {\bf j} = 0$en todas partes en$\partial D$, confinando así el sistema correspondiente dentro$D$sin un pozo de potencial infinito, como en las condiciones de Dirichlet ($\Psi = 0$en$\partial D$). Este es el caso de la reflexión perfecta sobre$\partial D$.

Hay una mención de esto en la Sección 5.2 de Visual Quantum Mechanics: Selected Topics with Computer-Generated Animations of Quantum-Mechanical Phenomena , de Bernd Thaller ( Springer , 2000); Enlace de Google Libros .

En cuanto a las aplicaciones, una respuesta a otra publicación, ¿Podemos imponer una condición de contorno en la derivada de la función de onda a través de los supuestos físicos? , señaló el uso de las condiciones de Neumann en la teoría de dispersión de la matriz R.

Aclaración tras la observación de @arivero sobre las condiciones necesarias para atrapar el sistema dentro del dominio D :

Podemos decir que el sistema descrito por$\Psi$está atrapado en el dominio D si la probabilidad total de ubicarlo en D,$P_D$, se conserva en el tiempo:$dP_D/dt = 0$. En este caso, si el sistema está inicialmente ubicado dentro de D, tal que$\Psi({\bf x},t=0) = 0$para todos${\bf x} \notin D$y$P_D(t=0) = 1$, entonces permanecerá en D en absoluto$t > 0$, ya que$P_D(t) = P_D(t=0) = 1$. si inicialmente$P_D(t=0) < 1$(el sistema tiene una probabilidad distinta de cero de estar ubicado fuera de D), entonces todavía tenemos$P_D(t) = P_D(t=0) < 1$.

Conservación de$P_D$es equivalente a una condición de corriente de probabilidad total nula a través del límite$\partial D$. Tenga en cuenta que no es necesario requerir corriente de probabilidad nula en cada punto de$\partial D$, pero solo probabilidad total nula actual a través de$\partial D$.

La diferencia se puede entender en términos de amplitudes de trayectoria (representación integral de trayectoria). En el primer caso, la amplitud$\Psi({\bf x}_1 t_1, {\bf x}_2 t_2; {\bf x} t)$que el sistema "va" del punto${\bf x}_1 \in D$en el momento$t_1$apuntar${\bf x}_2 \notin D$en el momento$t_2 > t_1$al pasar por el punto${\bf x} \in \partial D$en algún momento$t$,$t_1 < t < t_2$, es distinto de cero$\forall {\bf x} \in \partial D$:$\Psi({\bf x_1} t_1, {\bf x_2} t_2; {\bf x} t)≠0$. Sin embargo, si exigimos corriente de probabilidad nula en cada punto de$\partial D$, después$\Psi({\bf x}_1 t_1, {\bf x}_2 t_2; {\bf x} t)=0$,$\forall {\bf x} \in \partial D$.

En otras palabras, probabilidad total nula actual en$\partial D$impone un reventado débil en el sentido de que, en general,$P_D(t) =$constante y los "eventos cruzados" a través del límite se equilibran. Corriente de probabilidad local nula en cada punto de$\partial D$,${\bf n} \cdot {\bf j} = 0$, corresponde a un atrapamiento fuerte en el sentido de que el sistema "no se cruza" en ningún punto${\bf x} \in \partial D$. Imponer la condición de atrapamiento fuerte es equivalente a exigir que la condición de atrapamiento débil sea satisfecha por cualquier función de onda$\Psi$, a diferencia de uno seleccionado$\Psi$. En este caso, el sistema está esencialmente confinado dentro de D en todo momento. Por cierto, la condición de atrapamiento fuerte se deriva del requisito de que la restricción del sistema hamiltoniano en el dominio D permanezca autoadjunta.

Derivación de las condiciones actuales de probabilidad :

La ecuación libre de Schroedinger para$\Psi$,$i\partial\Psi/\partial t = \Delta\Psi$como arriba (elección de signo de OP), implica la conservación local de la densidad de probabilidad$\rho({\bf x,t}) = \Psi({\bf x},t)\Psi^*({\bf x},t)$:

$$\frac{\partial \rho({\bf x},t)}{\partial t} + {\bf \nabla}\cdot {\bf j}({\bf x},t) = 0$$ Integrando esto sobre los rendimientos del dominio D $$\int_D dV\;\frac{\partial {\rho({\bf x},t)}}{\partial t} + \oint_{\partial D}dS\;{{\bf n}\cdot{\bf j}} = \frac{d}{dt}\int_DdV\;{\rho({\bf x},t)} + \oint_{\partial D}dS\;{{\bf n}\cdot{\bf j}} = 0$$ que después de denotar $P_D = \int_DdV\;{\rho({\bf x},t)}$se convierte $$\frac{dP_D}{dt} + \oint_{\partial D}dS\;{{\bf n}\cdot{\bf j}} = 0$$ Imponente $dP_D/dt = 0$necesariamente significa $\oint_{\partial D}dS\;{{\bf n}\cdot{\bf j}} = 0$. Tenga en cuenta que $\oint_{\partial D} dS\;{{\bf n}\cdot{\bf j}} = 0$no requiere ${{\bf n}\cdot{\bf j}} = 0$en cada punto de $\partial D$, mientras ${{\bf n}\cdot{\bf j}} = 0$implica $\oint_{\partial D} dS\;{{\bf n}\cdot{\bf j}} = 0$y $dP_D/dt = 0$.

Restricción autoadjunta del hamiltoniano libre en el dominio D :

Una restricción autoadjunta de$H\Psi = \Delta \Psi$en D requiere que$\int_D dV\;\Phi^* (\Delta\Psi) = \int_D dV\;(\Delta\Phi^*) \Psi$o$\int_D dV\;[\Phi^* (\Delta\Psi) - (\Delta\Phi)^* \Psi] = 0$. Usar$\Phi^* (\Delta\Psi) = {\bf \nabla}\cdot(\Phi^* {\bf \nabla}\Psi) - {\bf \nabla}\Phi^* \cdot {\bf \nabla}\Psi$y el teorema de Green para obtener

$$\int_D dV\;[\Phi^* (\Delta\Psi) - (\Delta\Phi)^* \Psi] = \oint_{\partial D} dS\;[\Phi^*\frac{d\Psi}{d{\bf n}} - \Psi\frac{d\Phi^*}{d{\bf n}}] = 0$$ Si la última condición anterior debe ser satisfecha por arbitraria $\Phi$, $\Psi$, debe contener localmente: $$\Phi^* \frac{d \Psi}{d{\bf n}} - \Psi \frac{d \Phi^*}{d{\bf n}} = 0$$

Esto significa$\frac{1}{\Psi}\frac{d\Psi}{d{\bf n}} = \frac{1}{\Phi^*}\frac{d\Phi^*}{d{\bf n}} = a({\bf x}), \forall {\bf x} \in \partial D$. El caso$\Phi = \Psi$muestra que$a({\bf x}) = a^*({\bf x})$. Por lo tanto la restricción de$H$en$D$es autoadjunto si y solo si las funciones de onda en su soporte satisfacen una condición de contorno

$$\frac{d\Psi}{d{\bf n}} = a({\bf x})\Psi$$ para alguna función de valor real dada $a({\bf x})$. En particular, esto significa que cada función de onda $\Psi$también satisface la condición de atrapamiento fuerte ${\bf n} \cdot {\bf j} = 0$.

Finalmente, tenga en cuenta que la condición de atrapamiento fuerte significa$\Psi^*\frac{d\Psi}{d{\bf n}} - \Psi\frac{d\Psi^*}{d{\bf n}} = 0$, pero no implica que$\Phi^*\frac{d\Psi}{d{\bf n}} - \Psi\frac{d\Phi^*}{d{\bf n}} = 0$por arbitrario$\Psi$,$\Phi$. Si consideramos esta última expresión como el elemento de la matriz de un "operador de corriente local"${\bf n} \cdot {\bf \hat j}$, entonces la condición de atrapamiento fuerte requiere que los elementos diagonales de${\bf n} \cdot {\bf \hat j}$son 0, mientras que la autoadjunción requiere que todo el espacio de funciones de onda esté en el núcleo de cada${\bf n} \cdot {\bf \hat j}$.

Suponga que desea analizar el comportamiento estacionario de una partícula en un pozo de potencial que es simétrico con respecto a$x=0$(imagen debajo). Para simplificar su cálculo, podría usar como condición de contorno que$\frac{\partial \psi(x)}{\partial x}=0$y resuelva la ecuación de Schroedinger solo para x>0. Entonces, esta condición de contorno solo refleja la naturaleza simétrica del problema. Además de eso, es equivalente a exigir que el valor esperado para el impulso sea$0$en$x=0$, que es lo que espera de una solución estacionaria para un pozo de potencial simétrico. También puede extender esto a las ecuaciones de Schroedinger no estacionarias con pozo de potencial simétrico y condiciones iniciales simétricas, es decir$\Psi(x,t=0)$es simétrico alrededor$x=0$.

Entonces, la 'etiqueta' que podría usar es 'plano de simetría para función potencial'.