¿Existe una forma rápida de encontrar la energía cinética en coordenadas esféricas?

Hay una manera sin esfuerzo, si aceptas el razonamiento geométrico.

Tú lo sabes$T = \frac 1 2 m \vec v^2 = \frac 1 2 m \lvert \vec v \rvert^2$. Además, las coordenadas esféricas son ortogonales, por lo que simplemente puedes escribir:

$$\lvert \vec v \rvert = \sqrt{v_\phi^2 + v_\theta^2 + v_r^2}$$

Geométricamente, uno encuentra fácilmente:$v_r = \dot r$,$v_\theta = r \dot \theta$y$v_\phi = r \sin(\theta) \dot \phi$.

Y así el resultado:

$$\lvert\vec v\rvert = \sqrt{\dot r^2 + r^2 \dot \theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \dot \phi^2}.$$

Aquí se puede hacer una conexión importante con la relatividad. Considere el desplazamiento infinitesimal en las coordenadas cartesianas:

$$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2=dx^a g_{ab}dx^b$$ donde $a,b\in\{1,2,3\}$y $$dx^a=\left(\begin{array}{c}dx\\dy\\dz\end{array}\right)$$ y $g_{ab}$la métrica, $$g_{ab}=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)$$

Desde el desplazamiento$ds^2$debe ser el mismo independientemente de las coordenadas, entonces (a través de la geometría simple), tenemos

$$ds^2=dr^2+r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2\right)=dx^a g_{ab}dx^b$$ donde ahora la métrica toma la forma $$g_{ab}=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&r^2&0\\0&0&r^2\sin^2\theta\end{array}\right)$$ y $$dx^a=\left(\begin{array}{c}dr\\d\theta\\d\phi\end{array}\right)$$

Por lo tanto, puede obtener las velocidades dividiendo el desplazamiento$dx^a$por$dt$, llevando a

$$v^av_a=\frac{dx^a}{dt} g_{ab}\frac{dx^b}{dt}\equiv\dot x^ag_{ab}\dot x^b$$ y la relación esperada cae naturalmente: $$v^av_a=\begin{cases}\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2 \\ \dot r^2+r^2\dot\theta^2+r^2\sin^2\theta\dot\phi^2\end{cases}$$

Cuando encuentre el valor total (cuadrado) de algún vector en una base ortogonal, como el sistema cartesiano$(x,y,z)$o de hecho el sistema esférico$(r,\theta,\phi)$, lo que estás haciendo es simplemente sumar los valores cuadrados de cada componente del vector.

Tomando la velocidad, pensemos en los diferentes componentes:

1. ¿Cuál es la velocidad en la dirección radial? Eso es fácil; el vector radial es una línea recta, como cualquiera de los vectores base en el sistema cartesiano. Entonces la velocidad radial es simplemente$\dot{r}$.
2. ¿Qué tal la velocidad azimutal? Piense en la longitud de un arco en un círculo de radio$r$. Sabes que esta longitud es$r\theta$, y dado que solo está considerando cambios en el$\theta$coordenada, la velocidad es sólo$r\dot{\theta}$.
3. El componente ecuatorial se aborda de la misma manera que en la parte (2), solo que ahora debe tener en cuenta el hecho de que el radio del círculo se hace más pequeño a medida que se aleja del ecuador. ¿Cuánto más pequeño? Bueno, puedes mirar el ángulo y usar 'SOH-CAH-TOA' para convencerte de que el radio del círculo cuando estás en un ángulo azimutal$\theta$es solo$r\sin{\theta}$. Así que ahí lo tienes; la componente ecuatorial de la velocidad es$r\sin({\theta})\dot{\phi}$.

Eleva al cuadrado cada uno de estos términos y súmalos, y ese es tu total$v^2$en el sistema de coordenadas esféricas. ¡Simples!