Demostrar que dos funciones de Lagrange son equivalentes

Question

Demostrar que dos funciones de Lagrange son equivalentes

usuario292868

Vi la siguiente pregunta en una hoja de práctica y estoy un poco confundido:

Dada la función de lagrange $L=\frac{1}{2}\dot{r}^2 -\frac{a}{r^2}-b r^2$ , eran $a$ y $b$ son constantes. Demuestre que una nueva función de Lagrange $L'$ es equivalente a $L$ , eran $L'$ es $L$ en una nueva variable $s=\frac{1}{r}$

Así que calculé las ecuaciones de Euler Lagrange para los casos anteriores y llegué a:

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial\dot{r}}=\ddot{r}=2a\frac{1}{r^3}-2br= \frac{\partial L}{\partial r}$
$\frac{d}{dt} \frac{\partial L'}{\partial\dot{s}}=\frac{1}{\ddot{s}^3}=2as-2b\frac{1}{s^3}= \frac{\partial L'}{\partial s}$

¿Cómo puedo demostrar ahora que 1. y 2. son equivalentes?

EDITAR: edité un error estúpido (ver comentarios).

JG

Escriba estos ELE respectivamente como

f (r, \dot{r}, \ddot{r}) = 0, g (s, \dot{s}, \ddot{s}) = 0

$f(r,\,\dot{r},\,\ddot{r})=0,\,g(s,\,\dot{s},\,\ddot{s})=0$ , luego reescribe

g

$g$ como una función de

r, \dot{r}, \ddot{r}

$r,\,\dot{r},\,\ddot{r}$ usando

s = 1 / r ⟹ \dot{s} = - \dot{r} / r^{2}

$s=1/r\implies\dot{s}=-\dot{r}/r^2$ etc.

Frodcubo

1 / {\ddot{s}}^{3}

$1/\ddot s^3$ definitivamente no es igual a

{\ddot{r}}^{3}

$\ddot r^3$ . Arreglar esto debería darte el resultado correcto.

Frodcubo

Tienes

\dot{r} = - \frac{\dot{s}}{s^{2}}

$\dot r = -\frac{\dot s}{s^2}$ (también la L' en tu publicación es incorrecta) y

\ddot{s} = \frac{2 {\dot{r}}^{2} - r \ddot{r}}{r^{3}}

$\ddot s=\frac{2\dot r^2 - r \ddot r}{r^3}$

Frodcubo

Ahora sustituye de nuevo

s

$s$ ,

\dot{s}

$\dot s$ y

\ddot{s}

$\ddot s$ en términos de

r

$r$ y sus derivados

Respuestas (1)

Demostrar que dos funciones de Lagrange son equivalentes

Escriba estos ELE respectivamente como $f(r,\,\dot{r},\,\ddot{r})=0,\,g(s,\,\dot{s},\,\ddot{s})=0$ , luego reescribe $g$ como una función de $r,\,\dot{r},\,\ddot{r}$ usando $s=1/r\implies\dot{s}=-\dot{r}/r^2$ etc.
$1/\ddot s^3$ definitivamente no es igual a $\ddot r^3$ . Arreglar esto debería darte el resultado correcto.
Tienes $\dot r = -\frac{\dot s}{s^2}$ (también la L' en tu publicación es incorrecta) y $\ddot s=\frac{2\dot r^2 - r \ddot r}{r^3}$
Ahora sustituye de nuevo $s$ , $\dot s$ y $\ddot s$ en términos de $r$ y sus derivados

JG · Answer 1

En primer lugar, $L$ tiene ELE

\ddot{r} = \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = \frac{\partial L}{\partial r} = \frac{2 a}{r^{3}} - 2 b r .

$\ddot{r}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}=\frac{\partial L}{\partial r}=\frac{2a}{r^3}-2br.$ Desde

s = r^{- 1}

$\color{blue}{s=r^{-1}}$ ,

\dot{s} = - r^{- 2} \dot{r}

$\color{blue}{\dot{s}=-r^{-2}\dot{r}}$ y

\ddot{s} = 2 r^{- 3} {\dot{r}}^{2} - r^{- 2} \ddot{r}

$\color{blue}{\ddot{s}=2r^{-3}\dot{r}^2-r^{-2}\ddot{r}}$ , y

r = s^{- 1} ⟹ \frac{1}{2} {\dot{r}}^{2} = \frac{1}{2} (- s^{- 2} \dot{s})^{2} = \frac{1}{2} s^{- 4} {\dot{s}}^{2} .

$r=s^{-1}\implies\frac12\dot{r}^2=\frac12(-s^{-2}\dot{s})^2=\frac12s^{-4}\dot{s}^2.$ Desde

L^{'} = \frac{1}{2} s^{- 4} {\dot{s}}^{2} - a s^{2} - b s^{- 2}

$L^\prime=\frac12s^{-4}\dot{s}^2-as^2-bs^{-2}$ , su ELE es

s^{- 4} \ddot{s} - 4 s^{- 5} {\dot{s}}^{2} = \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{s}} = \frac{\partial L}{\partial s} = - 2 a s + 2 b s^{- 3} .

$s^{-4}\ddot{s}-4s^{-5}\dot{s}^2=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{s}}=\frac{\partial L}{\partial s}=-2as+2bs^{-3}.$ Ahora sustituya las ecuaciones azules en esto para mostrar que se reduce al ELE original.

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usuario292868

JG

Frodcubo

Frodcubo

Frodcubo

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JG

usuario292868

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