Energía cinética en la mecánica lagragiana [duplicado]

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Energía cinética en la mecánica lagragiana [duplicado]

drandran12

En mi clase de mecánica clásica preguntaron por qué la energía cinética de un sistema mecánico holonómico tiene la forma cuadrática homogénea. Por supuesto, para un sistema estándar autónomo (un sistema que es holonómico y la restricción no realiza trabajo virtual), puede calcularlo

T = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{METRO} {metro}_{i} (v_{i} \cdot v_{i}) = \sum_{j = 1}^{norte} \sum_{k = 1}^{norte} a_{j k} (q) {\dot{q}}_{j} {\dot{q}}_{k}

$T = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { M } m _ { i } \left( v _ { i } \cdot v _ { i } \right) = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } a _ { j k } ( q ) \dot { q } _ { j } \dot { q } _ { k }$ con

a_{j k} (q) = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{norte} {metro}_{i} (\frac{\partial r_{i}}{\partial q_{j}} \cdot \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{k}})

$a _ { j k } ( \boldsymbol { q } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } m _ { i } \left( \frac { \partial \boldsymbol { r } _ { i } } { \partial q _ { j } } \cdot \frac { \partial r _ { i } } { \partial q _ { k } } \right)$ para que puedas escribir

T = {\dot{q}}^{T} \cdot A \cdot \dot{q}

$T = \dot { q } ^ { T } \cdot A \cdot \dot { q }$ Pero, ¿cuál es la razón física?

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Posible duplicado de ¿Por qué la energía cinética aumenta cuadráticamente, no linealmente, con la velocidad?

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Energía cinética en la mecánica lagragiana [duplicado]

Posible duplicado de ¿Por qué la energía cinética aumenta cuadráticamente, no linealmente, con la velocidad?

qmecanico · Answer 1

que el término cinético $T(q,\dot{q},t)$ es un polinomio de segundo orden en las velocidades generalizadas $\dot{q}$ se puede ver como:

una consecuencia de
- la restricción holonómica de que las posiciones ${\bf r}_i(q,t)$ no dependen de las velocidades generalizadas $\dot{q}$ ,
- y que la energía cinética no relativista es $T=\sum_{i=1}^N\frac{m_i}{2}\dot{\bf r}_i^2$ ,
como OP ya sugirió.
simplemente un ansatz o aproximación, parcialmente justificado por el hecho de que el término cinético debería estar acotado desde abajo. (Este ansatz es famoso por violar las partículas puntuales relativistas ).

Referencias:

H. Goldstein, Mecánica clásica, Sección 1.6.

Energía cinética en la mecánica lagragiana [duplicado]

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