¿Qué condiciones se requieren para que la derivada de la energía cinética sea Fv?

El primer paso parece sencillo.

$$\frac{dT}{dt} = mv\dot{v}$$

Para comprender su error, es necesario observar cómo se relacionan la velocidad y la velocidad,$\vec v = v \,\hat v$, dónde$\vec v$es la velocidad,$\hat v$es el vector unitario en la dirección de la velocidad y$v$es la velocidad

Empezaste con la velocidad al cuadrado$v^2$y diferenciados con respecto al tiempo para obtener$(2)\,v\,\dfrac {dv}{dt}$.

En la otra parte de la derivación tenías un término$\dfrac {d\vec v}{dt}\cdot \vec v$

Si$\vec v = v \,\hat v$entonces$\dfrac {d\vec v}{dt} = \dfrac{dv}{dt} \hat v + v \dfrac{d\hat v}{dt}$

Esto significa que$\dfrac {d\vec v}{dt} \ne \dfrac{dv}{dt} \hat v \Rightarrow \left |\dfrac {d\vec v}{dt}\right |\ne \dfrac{dv}{dt}$a menos que$\dfrac{d\hat v}{dt} =0$lo cual solo es cierto si la dirección de la velocidad no cambia.

Su anomalía se debe a asumir que$\left |\dfrac {d\vec v}{dt}\right |$y$\dfrac{dv}{dt}$son iguales.

La energía cinética debe escribirse como$\frac 1 2 m (\vec v \cdot \vec v)$y diferenciar con respecto al tiempo y luego puedes comparar como$\dfrac {d\vec v}{dt}$en el lado izquierdo con como$\dfrac {d\vec v}{dt}$al lado derecho.

Dicho de otra manera.

La magnitud del cambio en la velocidad.$|(\vec v + \Delta \vec v) - \vec v| = |\Delta \vec v|$

no es igual a

el cambio en la velocidad$|\vec v + \Delta v| - |\vec v|$

a menos que la dirección de la velocidad no cambie.

Actualización en respuesta a un comentario de @danielunderwood.

Mira dónde está la energía cinética$T = \frac 12 m v^2$viene de.

Una fuerza$\vec F(\vec r)$se aplica a una masa$m$y usando la segunda ley de newton$\vec F = \dfrac {d\vec p}{dt} = m \dfrac{d \vec v}{dt}$.

El trabajo realizado cuando esta fuerza es desplazada por$d\vec r$es$\vec F \cdot d\vec r = m \dfrac{d \vec v}{dt} \cdot d\vec r = m \vec v \cdot d\vec v$y este es el cambio en la energía cinética$dT$.

$dT = m \vec v \cdot d\vec v = \dfrac 1 2 m \,{d(\vec v \cdot \vec v)} =\dfrac 1 2 m \,{d(v^2)}$

La integración con la masa partiendo del reposo da una expresión de la energía cinética de una masa$m$moviéndose con una velocidad$v$.

Ha ido en la dirección inversa en una de sus derivaciones e ignorado el hecho de que la velocidad es un vector y$v^2$es$\vec v \cdot \vec v$.

El producto punto entre dos vectores es$\vec a \cdot \vec b = |\vec a|~|\vec b|~\cos\theta_{ab},$dónde$\theta_{ab}$es el ángulo entre$\vec a$y$\vec b.$

Su derivación involucrando$\frac12 m \vec v\cdot\vec v$es de hecho correcto y su derivación involucra$\frac12 mv^2$de hecho se limita a ser sólo unidimensional. El problema es que en tres dimensiones,$v = |\vec v|$pero su "derivación" asume implícitamente que$\frac{d}{dt}|\vec v| = \left|\frac{d\vec v}{dt}\right|$, lo cual no es cierto en general.

Sin embargo, los productos escalares y los productos cruzados obedecen a una forma de la regla del producto; podríamos decir en matemáticas más avanzadas que el producto punto está representado por un "tensor métrico"$g_{\bullet\bullet}$tal que el producto interior de dos vectores$u^\bullet$y$v^\bullet$es$g_{ab}~u^a~v^b$y la derivada viene dada por$\dot g_{ab}~u^a~v^b + g_{ab}~\dot u^a~v^b + g_{ab}~u^a~\dot v^b$y todo lo que necesitamos es que este tensor se mantenga constante en el tiempo,$\dot g_{ab}=0,$para entender su resultado. De manera similar, un producto cruzado en 3D proviene de un tensor de orientación de valencia [0, 3]$\epsilon_{abc}$y si eso es constante con respecto al tiempo, obtienes una regla de producto normal para el producto cruzado.

Y luego puede ver lo que necesita para no obtenerlos, como coordenadas variables en el tiempo.