Condición de que la función de energía lagrangiana h≡∑i∂L∂q˙iq˙i−Lh≡∑i∂L∂q˙iq˙i−Lh\equiv\sum_i\frac{\parcial L}{\parcial\dot q_i }\dot q_i-L sería igual a la energía mecánica EEE

Estoy estudiando Mecánica Clásica de Goldstein. Resolví un problema pero tengo una pregunta.

Pro 2.18
Una masa puntual está restringida a moverse sobre un aro sin masa de radio a fijo en un plano vertical que gira alrededor de su eje de simetría vertical con velocidad angular constante ω. Obtenga las ecuaciones de movimiento de Lagrange suponiendo que las únicas fuerzas externas surgen de la gravedad. ¿Cuáles son las constantes de movimiento? Demuestre que si ω es mayor que un valor crítico ω0, puede haber una solución en la que la partícula permanezca estacionaria en el aro en un punto que no sea el fondo, pero que si ω < ω0, el único punto estacionario para la partícula es en la parte inferior del aro. ¿Cuál es el valor de ω0?

Así que procedí como esta solución aquí .

Así que aquí, cuando elegimos solo una coordenada generalizada θ (ángulo polar), función de energía h no es lo mismo que la energía. Pero en el texto (capítulo sobre el Lagrangiano) dice que si potencial V = V ( q ) , h = mi . para este problema V = metro gramo a porque ⁡ θ , (o negativo, según se defina θ o eje) por lo que satisface la condición de que el potencial solo depende de la coordenada generalizada, no de la velocidad generalizada. Entonces h debiera ser mi , pero aparentemente no. ¿Que esta mal aquí?

Sé que si pongo el ángulo azimutal como variable independiente, tal contradicción no aparece. Pero no puedo ver por qué debería hacer eso (el problema dice que el ángulo azimutal no es una variable independiente, y la derivación de h = mi no dice nada de eso).

Seguramente algo debe estar mal con mi razonamiento, porque si el Lagrangiano de un sistema es L = 1 2 metro y ′ 2 + metro gramo y , podemos insertar la energía cinética horizontal constante 1 2 metro X ′ 2 (x no es una coordenada generalizada aquí), pero eso destruiría h = mi . ¿Alguien puede explicarme esto?

Respuestas (1)

El hecho de que el potencial V no depende de las velocidades no es suficiente para que la función de energía sea igual a la energía.

En general, la función de energía,

h ≡ ∑ i ∂ L ∂ q ˙ i q ˙ i − L ,
es igual a la energía mecánica mi = T + V si

  1. El potencial no depende de las velocidades;
  2. La energía cinética es función homogénea de grado dos de las velocidades.

Por otro lado, los sistemas que son tanto holonómicos como escleronómicos , es decir, las posiciones pueden escribirse como r → a = r → a ( q 1 , … , q norte ) , satisface la condición 2. Esto es así porque en este caso

T = 1 2 ∑ i , j a ( q ) i j q ˙ i q ˙ j ,
que satisface T ( q , λ q ˙ ) = λ 2 T ( q , q ˙ ) .

Claramente, el sistema que está considerando no es esclerótico. El aro es en realidad una restricción dependiente del tiempo, por lo que la posición de la masa puntual se describe mediante r → = r → ( θ , t ) . Por eso, h ≠ mi .

Gracias. En realidad, yo mismo releí la derivación del libro de texto y descubrí que existe la suposición adicional que usted señaló. Estoy muy contento de ver que mi razonamiento era correcto.
Uh... pero surgió otro problema. Entonces, encontrar el ángulo de equilibrio fue establecer θ''=0. Obtenemos θ=cos^-1(-sqrt(g/aw^2)). Pero cuando uso el potencial efectivo (Veff=T+V-(ma^2θ^2)/2), y encuentro el punto donde dVeff/dθ=0, da otro valor, θ=cos^-1(sqrt( g/aw^2)). (No me gusta este tema del potencial efectivo, pero así lo hizo nuestro profesor). No estoy seguro de cuál es el ángulo de equilibrio real de la intuición. Debido a que nuestro profesor usó E=h, (que es incorrecto), su respuesta mágicamente cambia de signo para que la respuesta sea coherente, pero mi respuesta parece contradecir.
No hay sqrt. Fue un error.
Condición de que la función de energía lagrangiana h≡∑i∂L∂q˙iq˙i−Lh≡∑i∂L∂q˙iq˙i−Lh\equiv\sum_i\frac{\parcial L}{\parcial\dot q_i }\dot q_i-L sería igual a la energía mecánica EEE
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