¿De múltiple a múltiple?

Question

¿De múltiple a múltiple?

Física
simetría
cálculo tensorial
sistemas coordinados
relatividad general
geometría diferencial

anamitra palit

Se supone que las ecuaciones de tensor permanecen invariantes en las transformaciones de coordenadas wrt en las que se conserva la métrica . Es importante tomar nota del hecho de que la invariancia en la forma de las ecuaciones del tensor es consistente con el hecho de que los componentes individuales del tensor pueden cambiar al pasar de un marco a otro. [Dicho sea de paso, la preservación de la métrica implica la preservación de la norma , ángulos, etc.]

Pero en la Relatividad General las ecuaciones de tensor (ejemplos: la ecuación geodésica, las ecuaciones de Maxwell en forma covariante) se consideran invariantes en su forma cuando pasamos de una variedad a otra. La métrica no se conserva en tales situaciones. La preservación del valor del elemento de línea es consistente con el hecho de que $g_{\mu\nu}$ puede considerarse como un tensor covariante de segundo orden:

$ds'^2=ds^2$

${=>}g'_{\mu\nu}dx'^{\mu}dx'^{\nu}=g_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}$

${=>}g'_{\mu\nu}=g_{\alpha\beta}\frac{dx^{\alpha}}{dx'^{\mu}}\frac{dx^{\beta}}{dx'^{\nu}}$

Cálculos rigurosos:

$ds'^2=g'_{\mu\nu}dx'^\alpha dx'^\beta$

$=g'_{\mu\nu}\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha}{d x^\alpha}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}{d x^\beta}$

$=g'_{\mu\nu}\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}{d x^\alpha}{d x^\beta}$

$=>g_{\alpha\beta}=\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}g'_{\mu\nu}$

Por lo tanto $g_{\mu\nu}$ es un tensor covariante de rango dos.

Pero en la prueba anterior hemos asumido el valor de $ds^2$ como escritura invariante a nuestra transformación. Esto no es cierto cuando se consideran diferentes tipos de variedades.

No conservación del valor de $ds^2$ resultará en el despido $g_{\mu\nu}$ como un tensor de segundo rango de tipo covariante. Esta será la situación si pasamos de una variedad a otra. *Es importante enfatizar el hecho de que el problema permanecerá incluso si pasamos de una variedad arbitraria al espacio-tiempo plano en particular al marco inercial local. *Consideraciones diferenciales no están mejorando las cosas como se indica en el cálculo anterior. El concepto mismo de un tensor se altera al considerar una variedad diferente/distinta.

¿Cuál es el fundamento matemático para la invariancia de forma de las ecuaciones tensoriales en tales aplicaciones donde consideramos variedades diferentes/distintas?

José Figueroa-O'Farrill

Aunque esto probablemente esté contenido en la respuesta de Luboš a continuación, permítanme comentar que la confusión podría deberse al hecho de que la primera oración de la pregunta no es correcta. Una ecuación tensorial es tal que todos los difeomorfismos (y no solo las isometrías, como se dijo) llevan soluciones a soluciones. El segundo párrafo también contiene una imprecisión. Por "cuando pasamos de una variedad a otra" supongo que quiere decir "bajo un mapa diferenciable de una variedad a otra". Si es así, no es automático que un campo tensorial en una variedad defina un campo tensorial en la otra. (continuación)

José Figueroa-O'Farrill

Por ejemplo, las formas diferenciales retroceden bajo mapas diferenciables, pero a menos que el mapa sea inyectivo, los campos vectoriales no avanzan. Por lo tanto, probablemente sea seguro restringirse a difeomorfismos entre variedades, en lugar de mapas diferenciables generales.

Juan Sidles

La respuesta estricta a su pregunta "¿Cuál es la base matemática para tales aplicaciones [como la dinámica]" es la naturalidad , en el sentido matemático de la palabra (ver " mathoverflow.net/questions/56938/… " ). Muchas personas tienen libros de texto favoritos que les abrió los ojos a la noción de naturalidad matemática: uno de los míos es Introducción a las variedades suaves de Jack Lee , también conocido como "Introducción suave a las variedades". ¡mejor! :)

Giuseppe

Para mayor claridad, comentaría que la condición de inyectividad en el mapa suave

f : M \to N

$f:M\to N$ no es suficiente para la existencia de push-forward

f_{*} : X (M) \to X (N)

$f_{\ast}:\mathcal{X}(M)\to\mathcal{X}(N)$ . CConsidere por ejemplo el inverso del mapa estereográfico

R^{n} \to S^{n}

$R^n\to S^n$ o una curva

R \to T^{2}

$\mathbb{R}\to\mathbb{T}^2$ cuya imagen es densa en todas partes.

Respuestas (3)

¿De múltiple a múltiple?

Aunque esto probablemente esté contenido en la respuesta de Luboš a continuación, permítanme comentar que la confusión podría deberse al hecho de que la primera oración de la pregunta no es correcta. Una ecuación tensorial es tal que todos los difeomorfismos (y no solo las isometrías, como se dijo) llevan soluciones a soluciones. El segundo párrafo también contiene una imprecisión. Por "cuando pasamos de una variedad a otra" supongo que quiere decir "bajo un mapa diferenciable de una variedad a otra". Si es así, no es automático que un campo tensorial en una variedad defina un campo tensorial en la otra. (continuación)
Por ejemplo, las formas diferenciales retroceden bajo mapas diferenciables, pero a menos que el mapa sea inyectivo, los campos vectoriales no avanzan. Por lo tanto, probablemente sea seguro restringirse a difeomorfismos entre variedades, en lugar de mapas diferenciables generales.
La respuesta estricta a su pregunta "¿Cuál es la base matemática para tales aplicaciones [como la dinámica]" es la naturalidad , en el sentido matemático de la palabra (ver " mathoverflow.net/questions/56938/… " ). Muchas personas tienen libros de texto favoritos que les abrió los ojos a la noción de naturalidad matemática: uno de los míos es Introducción a las variedades suaves de Jack Lee , también conocido como "Introducción suave a las variedades". ¡mejor! :)
Para mayor claridad, comentaría que la condición de inyectividad en el mapa suave $f:M\to N$ no es suficiente para la existencia de push-forward $f_{\ast}:\mathcal{X}(M)\to\mathcal{X}(N)$ . CConsidere por ejemplo el inverso del mapa estereográfico $R^n\to S^n$ o una curva $\mathbb{R}\to\mathbb{T}^2$ cuya imagen es densa en todas partes.

Motl de Luboš · Answer 1

La pregunta parece combinar muchas cosas diferentes:

la invariancia de una cantidad matemática (generalmente un escalar como $ds^2$ para la separación de dos eventos en relatividad especial)
covarianza de tensores (los valores de los componentes de los tensores pueden calcularse a partir de los de otro marco, pero no son lo mismo)
universalidad de las ecuaciones en diferentes situaciones (las mismas ecuaciones, que definen una teoría, tienen muchas soluciones y diferentes soluciones, por ejemplo, las diferentes formas de variedades generalmente no están relacionadas entre sí en absoluto)

Estas cosas tal vez estén relacionadas y se parezcan entre sí, pero no son las mismas cosas. En la relatividad especial, algunos objetos como $p_\mu p^\mu$ para un vector energía-momento $p^\mu$ son "invariantes", lo que realmente significa que el valor de esta cantidad escalar no cambia en absoluto si se realiza una transformación de Lorentz $L$ :

L (pag)^{m} L (pag)_{m} = {pag}^{m} {pag}_{m}

$L(p)^\mu L(p)_\mu = p^\mu p_\mu$ Luego están los tensores que son cualquier objeto que se transforma "covariantemente":

L (T)_{α β \dots ω} = T_{α^{'} β^{'} \dots ω^{'}} L_{α}^{α^{'}} L_{β}^{β^{'}} \dots L_{ω}^{ω^{'}}

$L(T)_{\alpha\beta\dots \omega} = T_{\alpha' \beta' \dots \omega'} L^{\alpha'}_{\alpha} L^{\beta'}_{\beta} \dots L^{\omega'}_{\omega}$ lo que significa que se transforman como "productos tensoriales de vectores": cada índice se contrae con una copia de la matriz de transformación de Lorentz.

Las ecuaciones de campo en la relatividad especial son covariantes: ellas (después de que todos los términos se mueven al lado izquierdo y el lado derecho desaparece) se transforman como tensores, lo que significa que si desaparecen (se mantienen) en un marco de referencia, también lo hacen en otro. Sin embargo, los valores numéricos particulares de los componentes de un tensor (covariante) sí dependen del marco de referencia. No son "invariantes" (inmutables); en cambio, son simplemente "covariantes" (cambian junto con las coordenadas, de acuerdo con una regla de tensor universal).

En relatividad general, los campos como el tensor de Ricci son funciones de las coordenadas del espacio-tiempo. En cada punto, los objetos se transforman como tensores (como se explicó anteriormente) bajo transformaciones de coordenadas que se reducen a transformaciones de Lorentz en la vecindad del punto dado (hasta cierta aproximación). De hecho, la regla de transformación del tensor anterior puede generalizarse y debe generalizarse a partir de $SO(3,1)$ a $GL(4,R)$ . Esto también es útil para escribir cómo se transforman los campos tensoriales bajo difeomorfismos generales, es decir, no necesariamente transformaciones de coordenadas lineales. Para transformaciones de coordenadas generales, la definición de "tensor" es más restrictiva: por ejemplo, las derivadas parciales de vectores ya no se transforman como tensores.

Con esta definición más restrictiva, la relatividad general dicta ecuaciones de campo que tienen la forma "el campo tensorial se desvanece". Para una teoría dada, las ecuaciones de movimiento tienen la forma universal, por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell-Einstein, para ser específicos. La bien definida y la unicidad de las ecuaciones de movimiento es lo que queremos decir con tener una sola teoría. Sin embargo, una sola teoría o un solo conjunto de ecuaciones en física siempre tiene muchas soluciones. En relatividad especial, uno puede producir nuevas soluciones (matemáticamente pero no físicamente nuevas) mediante transformaciones de Lorentz a partir de una dada; en relatividad general, se pueden obtener nuevas soluciones (matemáticamente pero no físicamente nuevas) mediante cualquier difeomorfismo aplicado a una solución dada.

Los campos tensoriales se transforman de forma covariante pero no son invariantes y dependen de la situación, de la forma de la variedad, etc. En cualquier caso, en este punto, debe comprender por qué su pregunta no tiene sentido. La base matemática de "dicha aplicación" es el álgebra lineal elemental, la geometría diferencial, la relatividad especial o la relatividad general, según lo que esté preguntando exactamente. Sin embargo, no está preguntando exactamente nada, por lo que su pregunta no puede ser respondida. Asegúrese de que no exista ninguna contradicción en las líneas que aparentemente quería proponer en la redacción de su pregunta.

pedro morgan · Answer 2

Las ecuaciones tensoriales que mencionas no son invariantes , son covariantes . Gran diferencia. Ambas son ecuaciones diferenciales, que se transforman linealmente bajo transformaciones no lineales de una variedad a otra porque son ecuaciones diferenciales en un punto . La transformación no lineal de una variedad a otra induce una transformación lineal del espacio tangente en cada punto de una variedad al espacio tangente en el punto correspondiente de la otra.

El tensor métrico $g_{\mu\nu}$ es linealmente covariante bajo transformaciones. Dado que existe un tensor métrico en ambas variedades, y que una es la imagen de la otra bajo un difeomorfismo , la distancia desde el punto $A$ apuntar $B$ , por ejemplo, es invariante bajo esa transformación. En términos generales, un objeto tensor es invariante cuando se suman todos los índices (típicamente bajo la convención de suma de Einstein , que oculta muchos teoremas de álgebra lineal en el formalismo).

Luboš publicó una Respuesta más extensa cuando estaba terminando esto, así que considéralo un contrapunto relativamente simple a eso.

Le sugiero que necesite un libro cruzado de Matemáticas-Física decente que analice las variedades y la geometría diferencial en un nivel intermedio, de los cuales hay varios. He sido feliz con Nakahara, http://www.amazon.com/Geometry-Topology-Physics-Graduate-Student/dp/0750306068 .

Kyle · Answer 3

Esto depende de lo que quiera decir con "pasar de un colector a otro". En la relatividad general, generalmente se considera una sola variedad $\mathcal{M}$ y difeomorfismos $\phi: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{M}$ . Creo que la idea a la que intentas llegar es que si consideras una geometría en $\mathcal{M}$ , eso es un par $(\mathcal{M} , g)$ dónde $g$ es un campo métrico (un campo suave de 2 formas que no es degenerado y tiene la firma correcta) que satisface las ecuaciones de campo de Einstein en $\mathcal{M}$ entonces la geometría, dada por $(\mathcal{M} , (\phi^{-1})^*g)$ , dónde $(\phi^{-1})^*g$ es el retroceso de $g$ a lo largo de la inversa de $\phi$ , también satisface las ecuaciones de campo de Einstein.

Este es el origen de la noción de que GR tiene una "redundancia de calibre" que es su invariancia bajo difeomorfismos activos y es bastante diferente (aunque relacionado con) el hecho de que las ecuaciones tensoriales de GR son covariantes bajo transformaciones de coordenadas (es decir, cambiar de una tabla de coordenadas a otra).

Es solo en el sentido anterior que cuando "pasas de una variedad a otra" la "métrica se conserva".

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