¿Cuál es la motivación de la física para la conexión Levi-Civita en GR?

Aunque los enlaces en las secciones de comentarios se recomiendan para aquellos interesados, intentaré proporcionar un argumento más heurístico para la conexión Levi-Civita. Como dice el OP, la conexión Levi-Civita se define de manera única al requerir compatibilidad métrica y torsión cero:

1. $g_{ij;c} = 0$

2. $v^i{}_{;j}u^j - u^i{}_{;j}v^j = [u,v]$

dónde$[u,v]$es el conmutador (corchete de mentira) de los dos vectores$u$y$v$. Comencemos con la primera demanda.

1: Físicamente no hay diferencia entre vectores y co-vectores; aunque surgen de diferentes contextos matemáticos, ambos simplemente describen direcciones en el espacio-tiempo, y cualquier dirección debería ser la misma ya sea que esté definida por un vector o un co-vector. Por lo tanto, es físicamente razonable exigir que las derivadas covariantes de un vector$v^i$y un co-vector$u_i$definir la misma dirección (vector/co-vector) siempre que$v^i$y$u_i$hacer.

La identificación de vectores y co-vectores se puede realizar utilizando la isometría canónica inducida por el tensor métrico, que comúnmente se describe por el proceso de subida/bajada del índice:

$$v^i \sim u_i \quad\text{if and only if }\quad v^i = g^{ij}u_j.$$ Escribimos el co-vector $u_i$satisfactorio $u_i \sim v^i$como $v_i$. La pieza final de nuestro argumento es dejar que la conexión en el paquete tangente, $TM$, inducir una conexión en el haz cotangente, $T^*M$. Esto se hace exigiendo que la conexión actúe naturalmente con respecto a la contracción: $$(v^iu_i)_{;j} = v^i{}_{;j}u_i + v^iu_{i;j}.$$ Combinando la isometría y la conexión inducida, encontramos $$\begin{align} u_{i;j}v^j = \left(g_{ik}u^k\right)_{;j}v^j = g_{ik;j}u^kv^j + g_{ik}u^k{}_{;j}v^j, \end{align}$$ pero dado que, como se argumenta, nos gustaría exigir que $u^k{}_{;j}v^j \sim u_{k;j}v^j$dejamos que la contracción métrica en el último término baje el índice: $$u_{i;j}v^j = g_{ik;j}u^kv^j + u_{i;j}v^j.$$ Así claramente $g_{ik;j}u^kv^j = 0$, y dado que esto debe cumplirse para vectores arbitrarios $u^k$y $v^j$Debemos tener $g_{ik;j} \equiv 0$.

2: El tema de la torsión es más complicado, de ahí el interés por la teoría de Einstein-Cartan. Como se puede ver en los enlaces proporcionados en la sección de comentarios, la torsión distinta de cero ciertamente tendría efectos medibles. Sin embargo, dado que nos gustaría presentar un argumento heurístico de por qué elegiríamos inicialmente exigir torsión cero, no puedo pensar en una mejor manera que comparar la derivada covariante y la derivada de Lie.

Consideremos, por tanto, una acción de grupo sobre nuestra multiplicidad, tal que un punto$p$se lleva a un punto$q$:

$$x^\mu_p \mapsto x^\mu_q = x_p^\mu + \lambda v_p^\mu,$$ dónde $x_p^\mu$denote las funciones de coordenadas en $p$y $v^\mu_p$es un vector en $p$, y $\lambda$es muy pequeño. En última instancia, dejaremos $\lambda \to 0$como consideramos una acción de grupo infinitesimal. Entonces el jacobiano de esta transformación, $J^\mu_\nu$, es dado por $$J^\mu_\nu = \delta^\mu_\nu + \lambda v^\mu{}_{,\nu},$$ entonces un vector $u^\mu$se transforma como $$u^\mu\rvert_p \mapsto u^\mu\rvert_q = \widetilde{u}^\mu\rvert_p + \lambda v^\mu{}_{,\nu}\widetilde{u}^\nu\rvert_p,$$ dónde $\widetilde{u}^\mu$es el vector antes de la transformación. Así encontramos $$u^\mu - \widetilde{u}^\mu = u^\mu\rvert_{x_p^\nu + \lambda v^\nu_p} - u^\mu\rvert_{x_p^\nu} - \lambda v^\mu{}_{,\sigma}u^\sigma\rvert_{x_p^\nu},$$ de modo que $$\lim_{\lambda \to 0} \frac{u^\mu - \widetilde{u}^\mu}{\lambda} = u^\mu{}_{,\sigma}v^\sigma - v^\mu{}_{,\sigma}u^\sigma = [v,u].$$ El primer término en la expresión del medio proviene de la diferencia entre el vector no transformado en $q$a eso en $p$. Si la acción del grupo puede considerarse "física" en algún sentido, entonces tal vez podamos estar de acuerdo en que el resultado debería ser la derivada covariante de $u_\mu$a lo largo de $v^\sigma$: $$u^\mu{}_{,\sigma}v^\sigma \mapsto u^\mu{}_{;\sigma}v^\sigma.\tag{1}$$ El segundo término, por otro lado, nos dice cómo cambia nuestra transformación a lo largo $u^\sigma$. Nuevamente, si la transformación puede considerarse "física", tal vez podamos estar de acuerdo en que el resultado debería ser la derivada covariante $$v^\mu{}_{,\sigma}u^\sigma \mapsto v^\mu{}_{;\sigma}u^\sigma.\tag{2}$$

¿Qué queremos decir con una transformación "física" arriba? Si lleva consigo un conjunto de reglas, que definen vectores, entonces el cambio si los transporta en paralelo está dado por la derivada covariante como se indicó anteriormente. Esto representa$(1)$. Por otro lado, estos gobernantes, al ser objetos físicos, viajan a través del espacio-tiempo, y la diferencia entre su movimiento y el tuyo también viene dada por la derivada covariante, en el caso infinitesimal. Esto representa$(2)$. Es decir, consideramos el cambio entre el vector original definido por la regla y el vector definido por el vector transportado compensando las dimensiones físicas de nuestro "vector"/regla.

Puede que esté familiarizado con esto como la derivada de Lie de un campo vectorial, que a priori no es una expresión covariante. Sin embargo, si uno acepta lo anterior como un argumento de por qué debería ser así, podemos lograr esto intercambiando las derivadas parciales por derivadas covariantes, según la prescripción del principio de equivalencia, que produce torsión exactamente cero.

No estoy seguro de haber logrado presentar muy bien el argumento, y claramente no es hermético de ninguna manera. También podría ser relevante considerar este lado de torsión distinta de cero.