¿Existe un significado claro e intuitivo para los vectores propios y los valores propios de una matriz de densidad?

Question

¿Existe un significado claro e intuitivo para los vectores propios y los valores propios de una matriz de densidad?

protón

¿Existe un significado claro e intuitivo para los vectores propios y los valores propios de una matriz de densidad?
¿Una matriz de densidad siempre tiene una base de vectores propios?

eranreches

Es hermitiano, por lo que el teorema espectral garantiza que es diagonalizable.

Emilio Pisanty

{| ϕ_{n} ⟩}

$\{|\phi_n\rangle\}$ en el operador de densidad

ρ = \sum_{n} p_{n} | ϕ_{n} ⟩ ⟨ ϕ_{n} |

$\rho=\sum\limits_n p_n|\phi_n\rangle\langle\phi_n|$ , Cómo descomponer una matriz densidad de un conjunto mixto en una suma de conjuntos puros .

Respuestas (2)

¿Existe un significado claro e intuitivo para los vectores propios y los valores propios de una matriz de densidad?

Es hermitiano, por lo que el teorema espectral garantiza que es diagonalizable.
Relacionado: Conjunto de estados $\{|\phi_n\rangle\}$ en el operador de densidad $\rho=\sum\limits_n p_n|\phi_n\rangle\langle\phi_n|$ , Cómo descomponer una matriz densidad de un conjunto mixto en una suma de conjuntos puros .

Emilio Pisanty · Answer 1

En general, la matriz de densidad de un sistema dado siempre se puede escribir en la forma

\begin{matrix} (1) & ρ = \sum_{i} {pag}_{i} | ϕ_{i} ⟩ ⟨ ϕ_{i} |, \end{matrix}

$\rho = \sum_i p_i |\phi_i\rangle\langle\phi_i|, \tag 1$ representando entre otras cosas una mezcla probabilística en la que el estado puro

| ϕ_{i} ⟩

$|\phi_i\rangle$ se prepara con probabilidad

p_{i}

$p_i$ , pero esta descomposición generalmente no es única . El ejemplo más claro de esto es el estado de máxima mezcla en, digamos, un sistema de dos niveles con base ortonormal

{| 0 ⟩, | 1 ⟩}

$\{|0⟩,|1⟩\}$ ,

ρ = \frac{1}{2} [| 0 ⟩ ⟨ 0 | + | 1 ⟩ ⟨ 1 |],

$\rho = \frac12\bigg[|0⟩⟨0|+|1⟩⟨1|\bigg],$ que tiene exactamente la misma forma en cualquier base ortonormal para el espacio.

Sin embargo, en términos generales, los valores propios y los vectores propios de una matriz de densidad dada $\rho$ proporcionar un conjunto de estados y pesos tales que $\rho$ se puede escribir como en $(1)$ - pero con la garantía añadida de que el $|\phi_i⟩$ son ortogonales.

Esto no especifica de manera única los estados en cuestión, porque si cualquier valor propio $p_i$ es degenerado, habrá un subespacio bidimensional (o más grande) dentro del cual cualquier base ortonormal es igualmente válida, pero ese tipo de indefinición es solo una parte intrínseca de la estructura.

¿Serán los valores propios en la base de los vectores propios como las probabilidades especificadas en $\rho$ 's definición?
@proton La expansión en $(1)$ no es realmente una definición, es solo una posible expansión matemática que, según el contexto, puede o no tener un significado físico. Los valores propios y los vectores propios admiten la interpretación de una mezcla probabilística de los estados dados con las probabilidades dadas proporcionadas por un RNG puramente clásico. Sin embargo, esta no es la única forma de producir matrices de densidad, y puede obtener estados mixtos, por ejemplo, rastreando la mitad de un sistema entrelazado que, de lo contrario, se encuentra en un estado puro.

kryomaxim · Answer 2

El operador de densidad se define como

ρ = \sum_{i = 1}^{norte} {pag}_{i} | X_{i} ⟩ ⟨ X_{i} |

$\rho = \sum_{i=1}^N p_i |X_i\rangle\langle X_i|$

para un conjunto de $N$ estados $|X_i\rangle$ que ocurren con probabilidad $p_i$ . Estos estados forman una base ortonormal para asegurar la condición de normalización. $Tr(\rho)=1$ .

Podemos ver a partir de esta definición que los valores propios son las probabilidades $p_i$ que son números reales; el operador asigna simplemente la probabilidad a algún estado puro (que no está en superposición con otros estados) sin cambiar este estado. Por lo tanto, sabemos por álgebra lineal que si los valores propios son reales, entonces la matriz de densidad debe ser hermética.

Otra forma de ver la hermiticidad es comprobar $\langle b|\rho = (\rho|b\rangle)^*$ para cualquier estado $|b\rangle$ .

De la hermiticidad se deduce que existen valores propios y vectores propios (teorema espectral).

Y si $\rho$ se define para un conjunto $\left\{ \lvert X_i \rangle \right\}$ que no es una base ortonormal?
Entonces, puedes expandir $|X_i>$ como una superposición de algunos estados ortonormales $|\alpha_{ij}>$ tal que $|X_i> = \sum_j b_{ij}|\alpha_{ij}>$ y obtendrá también una matriz hermitana (puede probar la hermiticidad, por ejemplo, aplicando la matriz en un estado conjugado y comprobar si coincide con la aplicación de la matriz en el estado original) que se puede diagonalizar.
¿Está tratando de implicar que cualquier matriz con valores propios reales es hermitiana? Porque eso es falso.
Estos estados forman una base ortonormal para asegurar la condición de normalización Tr(ρ)=1. --- Esto es, por lo menos, engañoso. La normalización de X_i es todo lo que se requiere.
Tal como está escrita, la respuesta es un poco engañosa: si $\vert\pm\rangle_k$ son estados propios de $\sigma_k$ por ejemplo, es perfectamente posible tener $\rho=\frac{1}{2}\vert + \rangle_z +\frac{1}{2}\vert - \rangle_x$ . Por lo tanto, el operador de densidad seguramente no está definido en términos de una base ortonormal.

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