Explicación de por qué funciona esta derivación de la descomposición de Schmidt

Estoy siguiendo las notas de Preskill y deriva la descomposición de Schmidt de la siguiente manera:

Sea un estado bipartito$\psi_{AB} = \sum_{i,j}\lambda_{ij}\vert i\rangle\vert j\rangle = \sum_{i} \vert i\rangle\vert \tilde{i}\rangle$, donde simplemente elijo$\sum_j \lambda_{ij}\vert j\rangle = \vert \tilde{i}\rangle$.

Elijo un conjunto de vectores base.$\vert i\rangle$tal que el estado parcial es diagonal, es decir$\rho_A = \sum_i p_i\vert i\rangle\langle i\vert$. Pero también puedo obtener$\rho_A = Tr_B(\rho_{AB}) = Tr_B\sum_{i,j} \vert i\rangle\langle j\vert \otimes \vert \tilde{i}\rangle\langle \tilde{j}\vert = \sum_{ij} \langle \tilde{j}\vert\tilde{i}\rangle \vert i\rangle\langle j\vert$. La última parte se puede calcular escribiendo explícitamente la traza sobre$B$y usando las propiedades de una base ortonormal.

Así, tenemos$\rho_{A} = \sum_i p_i\vert i\rangle\langle i\vert = \sum_{ij} \langle \tilde{j}\vert\tilde{i}\rangle \vert i\rangle\langle j\vert$. Eso es$\langle \tilde{j}\vert \tilde{i}\rangle = p_i\delta_{ij}$. De repente, el$\vert\tilde{i}\rangle$son todos ortogonales entre sí.

¿Por qué elegir la base donde$\rho_A$es diagonal también te da vectores ortogonales en$B$? Esto pareció caer del cielo para mí, aunque las matemáticas son claras. ¿Cuál es el significado físico de esto?