Cómo descomponer una matriz de densidad de un conjunto mixto en una suma de conjuntos puros [cerrado]

De hecho, como observa, la descomposición no es única y no se requiere que las componentes sean ortogonales. Sin embargo, debe tratar la no unicidad como algo bueno, porque todo lo que necesita hacer es exhibir una descomposición que funcione, y no es necesario que caracterice todas las descomposiciones posibles. Debido a que todo lo que necesita hacer es mostrar un ejemplo, puede imponer cualquier requisito adicional en su ejemplo que considere conveniente, siendo la ortogonalidad el go-go obvio.

En la práctica, entonces, basta con diagonalizar la matriz.

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Dicho esto, la diagonalización parece darte algunos vectores de aspecto extraño, es decir, te dice que te descompongas como

$$\begin{align} \rho &= \frac{3+\sqrt{5}}{8} \frac{1}{1+\varphi^2} \begin{pmatrix}\varphi\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\varphi&0&1\end{pmatrix} \\ & \quad+ \frac{3-\sqrt{5}}{8} \frac{\varphi^2}{1+\varphi^2} \begin{pmatrix}-\varphi^{-1}\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\varphi^{-1}&0&1\end{pmatrix} \\ & \quad + \frac14 \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix} ,\end{align}$$ dónde $\varphi$es la proporción áurea, que es bastante incómoda, especialmente cuando puedes notar que $$\begin{align} \rho = \frac14 \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} +\frac14 \begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&0\\1&0&1\end{pmatrix} +\frac14 \begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix} \end{align}$$ y tomarlo desde allí. Como dije, si se le pide que proporcione una descomposición de conjunto, todo lo que necesita hacer es proporcionar una que funcione.