Positividad completa: ¿por qué la condición es suficiente para los mapas cuánticos?

Permítanme comenzar haciendo la pregunta: ¿Cuál cree que debería ser la definición de positividad completa? Quiere que "asegure que nunca encontraré una transformación global no positiva", pero eso no puede ser posible en esa generalidad. Lo que estoy tratando de decir aquí es: si se supone que la positividad completa es una condición para$\mathcal L_A$, entonces$\mathcal L_A$debe aparecer en la definición.

Lo que realmente queremos es que los mapas de la forma$\mathcal L_A \otimes \mathcal L_B$es positivo, para arbitrario$H_B$y$\mathcal L_B$. Solo consideramos transformaciones globales que son producto de dos mapas$\mathcal L_A$y$\mathcal L_B$que actúan sobre sus espacios de Hilbert individuales y dejan el otro espacio solo.

Ahora tenga en cuenta que

La definición garantiza que, si$\mathcal L_A$y$\mathcal L_B$son completamente positivos, también$\mathcal L_A \otimes \mathcal L_B$es completamente positivo. Inicialmente, es sorprendente que la misma propiedad no se mantenga si reemplazamos "completamente positivo" con "positivo" y le recomiendo que presente un contraejemplo para eso.

Editar en respuesta a los comentarios.

1. Sí, podríamos hacer otras definiciones, pero eso no es lo que significa "completamente positivo".
2. La positividad completa suele surgir en el contexto de los mapas CPTP. Los mapas CPTP son la respuesta a la pregunta:
   si tengo acceso a un subsistema$H_A$solamente, y estudio su evolución en el tiempo: ¿cuál es el mínimo absoluto de propiedades que puedo estar seguro que tendrá la evolución en el tiempo?
   La respuesta es que el operador de evolución debe ser lineal (convexo) y asignar una matriz de densidad a una matriz de densidad, y la positividad de la matriz de densidad resultante no debe depender de lo que suceda en otros experimentos no relacionados. Y eso corresponde a la definición de positividad completa.
3. Hasta ahora no hemos hablado de dos sistemas entrelazados ni nada en absoluto. Eso viene a través del teorema de Stinespring que nos dice: un mapa es CPTP si y solo si se puede escribir en la forma $$\rho \mapsto \operatorname{tr}_B \{ U (\rho \otimes \rho_B) U^\dagger \} .$$ Aquí,$U$es una evolución temporal unitaria en el sistema completo.
4. Entonces, ¿cuáles son exactamente las condiciones que desea para un mapa?$\mathcal L_A$ser, digamos, "StarBucK-positivo"? Algunas opciones:

   $\mathcal L_A$es StarBucK-positivo iff: para todos los espacios de Hilbert$H_B$y todas (¿todas positivas ?) (¿todas StarBuck-positivas ?) (¿todas unitarias ?) evoluciones en el tiempo$\mathcal L$en$H_A \otimes H_B$de modo que$\operatorname{tr}_B \circ \mathcal L = \mathcal L_A$(y asi que$\operatorname{tr}_A \circ \mathcal L$¿también es StarBucK-positivo?) ... ¿ qué condición se cumple ?

Otra edición, quiero dejar una cosa clara: si$\mathcal L_A$es CP, eso no garantiza que cada$\mathcal L$con$\operatorname{tr}_B \circ \mathcal L = \mathcal L_A$es positivo. Tal garantía es imposible ya que$\mathcal L_A$no contiene toda la información sobre$\mathcal L$.

Mi definición de positividad completa es:

$$\langle \phi^{AB} | \mathcal{L}_A \otimes 1 (\rho_{AB}) | \phi^{AB} \rangle \geq 0$$ dónde$\mathcal{L}_A$es el operador que quiero completamente positivo.

Esta es de hecho la definición de un mapa completamente positivo, y se define de esa manera para garantizar que la evolución provocada por$\mathcal{L}_A$es físico incluso si el sistema resulta ser parte de un sistema más grande en un estado entrelazado.

La razón por la que restringimos el operador de evolución en cuestión a la forma$\mathcal{L}_A \otimes 1$en lugar de$\mathcal{L}_A \otimes \mathcal{L}_B$o incluso$\mathcal{L}_{AB}$es porque queremos que la positividad completa sea una declaración que se trata exclusivamente de$\mathcal{L}_A$y no otra cosa. Para este criterio,$\mathcal{L}_A$es fijo: es lo que es y tiene la acción que tiene sobre$\mathscr H_A$, y no nos importa de dónde vino o qué más está actuando en otras partes del sistema.

En particular, eso significa que si la forma en que generas$\mathcal{L}_A$es que tienes algun sistema ancilla$\mathscr H_{A'}$y tienes un canal más grande$\mathcal L_{AA'}$actuando$\mathscr H_A\otimes \mathscr H_{A'}$, que luego rastreas parcialmente hasta$\mathcal L_A = \mathrm{tr}_{A'}(\mathcal L_{AA'})$, entonces en cuanto a la positividad completa de$\mathcal L_A$como va un canal cuántico, no nos importa que así sea como se produjo. Nos importa que sea un canal cuántico funcional que representa una evolución física en$\mathscr H_A$incluso si hay otros sistemas (no el ancilla) que están enredados con el sistema de interés.

Esta es la razón por la cual el criterio está escrito de la manera que lo ha establecido: puede haber otros factores tensoriales, pero la transformación física en cuestión es$\mathcal L_A$y$\mathcal L_A$ solamente (razón por la cual usted tiene un$\otimes 1_B$siguiéndola). Todo lo demás está ahí para asegurar que la transformación sea física en el entorno más general posible que$\mathcal L_A$, como una unidad, podría encontrarse a sí mismo.

Parece que hay un montón de preguntas aquí. Estoy respondiendo algunas preguntas que creo que usted está haciendo, pero no estoy seguro de si realmente estoy respondiendo a sus preguntas; realmente solo entiendo una de sus preguntas.

(1) ¿Por qué el operador que actúa sobre$\rho_{AB}$tener la forma${\cal L}\otimes I$?

En general, asumimos que se nos da un mapa que actúa solo sobre el sistema.$A$.

Ahora bien, si aplicamos${\cal L}$a$A$, y no hacemos nada para$B$, entonces el operador combinado es${\cal L}\otimes I$.

Una breve intuición para esto: si se aplica algún operador solo al sistema$A$tiene algún efecto de no identidad en un segundo sistema$B$que no estaba correlacionado con$A$, eso sería muy raro. Y la linealidad de la mecánica cuántica implica que el operador combinado es${\cal L}\otimes I$.

(2) Tal vez su verdadera pregunta sea: supongamos que tiene un mapa cuántico${\cal L}$que actúa sobre múltiples sistemas. ¿Cómo sabes que cuando solo miras$A$, ese mapa cuántico es completamente positivo?

Supongamos que hay algún sistema$C$, en algún lugar del universo (tal vez en Alpha Centauri), que${\cal L}$actúa como la identidad. Entonces${\cal L} \otimes I$es el mapa que actúa sobre$A \otimes C$, y el argumento anterior muestra que${\cal L}$es completamente positivo. Supongo que esto responde a su pregunta sobre mapas cuánticos prácticos del mundo real.

(3) Si tienes un universo muy, muy pequeño, di tu espacio de Hilbert$A$es un subespacio del universo$U$con