¿El operador unitario lleva un estado puro a un estado puro o puede llevar un estado puro a un estado mixto? [cerrado]

Un operador unitario$U$solo puede tomar un estado puro$|\psi \rangle$a un estado puro. Dejar$U | \psi \rangle = | \psi' \rangle$. Entonces actuando el unitario$U$en estado puro$| \psi \rangle$rendimientos

$$U \left( | \psi \rangle \langle \psi | \right) U^\dagger = | \psi' \rangle \langle \psi' |,$$

que es un estado puro.

Otra forma de ver esto es que una matriz de densidad (normalizada)$\rho$es puro iff su "pureza"$\mathrm{Tr}\, \rho^2 = 1$. Actuando con un unitario$U$da una nueva matriz de densidad con

$$\mathrm{Tr}\, \left[ \left( U \rho U^\dagger \right)^2 \right] = \mathrm{Tr}\, \left[ U \rho U^\dagger U \rho U^\dagger \right] = \mathrm{Tr}\, \left[ U \rho^2 U^\dagger \right] = \mathrm{Tr}\, \left[ \rho^2 U^\dagger U \right] = \mathrm{Tr}\, \left[ \rho^2 \right],$$

por lo que los operadores unitarios preservan la pureza de un estado, y el nuevo estado es puro si el original lo era. (De hecho, los operadores unitarios conservan todo el espectro de valores propios de$\rho$, a veces llamados "pesos de Schmidt" o "espectro de enredo".)

(Este simple hecho se encuentra en el corazón de varias áreas abiertas de investigación física. Por ejemplo, no es obvio a priori cómo un sistema inicialmente en estado puro podría termalizarse bajo la evolución temporal (unitaria) de Schrödinger, ya que la matriz de densidad térmica$e^{-\beta H}/Z$se mezcla a temperatura finita. La "hipótesis de termalización del estado propio" intenta abordar este problema postulando que un estado propio de energía típico de un hamiltoniano no integrable "se parece" al de un estado mixto térmico para los operadores locales, aunque globalmente sigue siendo un estado puro. Otra contradicción aparente es la "paradoja de la información del agujero negro": la formación de un agujero negro en un estado inicialmente puro parecería ingenuamente implicar que evoluciona a un estado mixto a medida que se pierde la pista de la información que cae, pero esto es imposible. bajo evolución temporal unitaria).

Parece que por "operador" te refieres a un operador de evolución temporal$\exp\left(\frac{i}{\hbar}\,H\,t\right)$dónde$H$es el hamiltoniano de un sistema cuántico, y dicho operador, por definición, siempre mapea (actúa sobre) un estado cuántico puro a otro estado cuántico puro. La evolución unitaria es lo que sucede cuando la medición cuántica no lo hace. Entonces, su declaración " Supongo que el operador Unitario actúa solo en un estado puro " es la correcta.

Habiendo dicho esto, se puede pensar que el operador de evolución de tiempo unitario está implícitamente en el trabajo en el cálculo de la evolución de un estado mixto. Conceptualmente ( es decir, la práctica es diferente), para calcular la evolución de tal estado, calculamos la evolución de todos los estados puros en la mezcla por separado. Supongamos que tenemos un sistema de estados puros mixtos$\psi_k$con probabilidad$p_k$estar en cada uno y queremos saber las estadísticas de medición cuando impartimos un observable$\hat{A}$Tiempo después$t$. Calculamos la evolución condicionada al supuesto de que el sistema está en estado$k$ser$\exp\left(\frac{i}{\hbar}\,H\,t\right)\,\psi_k$. Luego calculamos las estadísticas: el condicional$n^{th}$momento (condicionado a la suposición de la$k^{th}$estado puro) de la medida será

$$M_{n\,k}=\left.\left<\psi_k\,\exp\left(\frac{i}{\hbar}\,H\,t\right)\dagger\right.\right|\hat{A}^n\left|\left.\,\exp\left(\frac{i}{\hbar}\,H\,t\right)\,\psi_k\right>\right.$$

y luego sumamos todos estos momentos condicionales como lo hacemos en las estadísticas clásicas para obtener el total$n^{th}$momento:

$$M_n=\sum\limits_k p_k\,M_{n\,k}$$

En la práctica, sin embargo, es mucho más fácil calcular simplemente la matriz de densidad $\rho = \sum\limits_k p_k\,|\psi_k\rangle\langle\psi_k|$, calcule la evolución de este objeto mediante la ecuación de Liouville-von Neumann:

$$i \hbar \frac{\partial \rho}{\partial t} = [H,\rho]$$

y luego use la fórmula de rastreo para obtener el total$n^{th}$momento de la matriz de densidad evolucionada:

$$M_n = \mathrm{tr}(\rho\,\hat{A}^n)$$

Se demuestra fácilmente que estos dos procedimientos son equivalentes.

Recuerde: a pesar de su nombre ligeramente engañoso "matriz" (con las connotaciones de la palabra "mapeo" y "operador"), la matriz de densidad registra un estado cuántico mixto .

Un aparte interesante es que cada estado mixto de un sistema cuántico de dimensión finita también puede considerarse como parte de un estado puro (un "estado puro reducido") de un sistema cuántico de dimensión finita más grande ; busque la noción de purificación cuántica para obtener más información.