Clases de equivalencia en un espacio de Hilbert

Estoy leyendo algo sobre información cuántica/teoría de la computación cuántica y me he topado con una pared. Sé lo que significa una clase de equivalencia y cómo se puede dividir algo en clases de equivalencia, pero necesito ayuda con las siguientes dos preguntas:

  1. ¿Cómo se puede realizar naturalmente una partición de un espacio de Hilbert?

  2. ¿Cómo se puede ver un operador de densidad como una clase de equivalencia que representa un rango de diferentes conjuntos posibles?

Para el 1. No tengo idea, mientras que para el 2. Estaba pensando que tiene algo que ver con la ecuación para la expectativa de algún observable. A ^ , ⟨ A ^ ⟩ = t r ( ρ A ^ ) , ya que la traza es cíclicamente invariante y por lo tanto una transformación unitaria | ψ ′ ⟩ → tu ^ | ψ ⟩ , A ′ ^ → tu − 1 ^ A ^ tu ^ , porque

⟨ A ′ ^ ⟩ = t r ( ρ ′ A ′ ^ ) = t r ( tu − 1 ^ ρ tu ^ tu − 1 ^ A ^ tu ^ ) = t r ( tu − 1 ^ ρ A ^ tu ^ ) = t r ( ρ A ^ tu ^ tu − 1 ^ ) = ⟨ A ^ ⟩

Pero el mismo argumento funciona para la expectativa calculada a través del teorema de Ehrenfest.

He buscado por todas partes y no he encontrado nada.

¿Cómo se ven los elementos en un espacio de Hilbert?
¿Te refieres a vectores?
Sí, pero en general, un espacio de Hilbert es un espacio vectorial . Me imagino que estás trabajando con un espacio vectorial con elementos que son soluciones a algún tipo de ecuación de operador. Aprender más sobre la estructura del espacio vectorial del espacio de Hilbert que está viendo (¿base?) puede contribuir a encontrar una partición conveniente del espacio.
¿Podría proporcionar una referencia a la discusión de control de calidad? Mi conjetura es a lo largo de estas líneas. Para una matriz de densidad dada, puede representar múltiples estados mixtos posibles. Entonces, todas esas posibilidades para una matriz están en una clase de equivalencia, en el sentido de que producirán la misma matriz de densidad y, por lo tanto, los mismos resultados medibles para cualquier experimento. Pero los estados mixtos no son elementos del espacio de Hilbert (original) , por lo que sería útil responder si supiéramos qué espacio de Hilbert se está dividiendo.

Respuestas (1)

En el contexto de la física, existen relaciones de equivalencia "naturales" motivadas por la siguiente noción: los objetos matemáticos que determinan la misma física deben ser considerados equivalentes. Estas relaciones de equivalencia conducen a particiones de los conjuntos sobre los que se definen.

Equipados con esta idea, examinemos los dos puntos que mencionas:

  1. Dejar H sea ​​un espacio de Hilbert. Los elementos distintos de cero de este espacio pueden verse como estados de un sistema cuántico. Dos estados de este tipo que difieren en un factor complejo distinto de cero deben considerarse equivalentes porque determinan la misma física (por ejemplo, producen las mismas probabilidades de transición). Como resultado, existe una relación de equivalencia físicamente natural en H definido de la siguiente manera: un vector distinto de cero | ψ 1 ⟩ se dice que es equivalente a otro vector distinto de cero | ψ 2 ⟩ siempre que exista un número complejo distinto de cero C para cual

    | ψ 1 ⟩ = C | ψ 2 ⟩ .
    Las clases de equivalencia determinadas por esta relación se denominan rayos , y el conjunto de todas estas clases de equivalencia se denomina espacio proyectivo de Hilbert determinado por H . Este conjunto a menudo se denota PAG ( H ) .

  2. Dejar pag = ( pag 1 , pag 2 , … ) Sea una secuencia de números reales no negativos cuya suma es 1 , y deja Ψ = ( | ψ 1 ⟩ , | ψ 2 ⟩ , … ) sea ​​una sucesión de vectores de longitud unitaria en un espacio de Hilbert H . Un par mi = ( pag , Ψ ) de tales secuencias se llama conjunto . Se puede pensar que esta definición matemática corresponde a norte ≫ 1 sistemas cuánticos tales que norte k = pag k norte de ellos se preparan en estado puro | ψ k ⟩ . Por lo tanto, cada pag k se puede considerar como la probabilidad de que uno de los norte se prepara en estado puro | ψ k ⟩ . A cada conjunto mi , podemos asociar un operador de densidad de la siguiente manera:

    ρ mi = ∑ k pag k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | .
    Decimos que un conjunto mi 1 es equivalente a un conjunto mi 2 siempre que determinen el mismo operador de densidad:
    ρ mi 1 = ρ mi 2 .
    La idea detrás de esta definición es que el operador de densidad asociado con cada conjunto determina toda la física asociada con él (por ejemplo, promedios de conjuntos de observables), por lo que desde un punto de vista físico, los conjuntos que producen el mismo operador de densidad no deben considerarse distintos. .

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