Función con soluciones finitas

Estoy trabajando en algunos problemas de Putnam muy antiguos (piense en 1955), y encontré uno que creo que sería interesante abordar, pero no estoy seguro de cómo ejecutarlo.

Llevar F : Z + → R + ser una función tal que límite norte → ∞ F ( norte ) = 0. Quiero mostrar que solo hay un número finito de soluciones para la ecuación F ( X ) + F ( y ) + F ( z ) = 1. Me imagino que esto puede ser una forma de asumir por el bien de la contradicción, y por lo tanto originalmente AFSOC hay infinitamente muchos ( X , y , z ) ∈ ( Z + ) 3 tal que F ( X ) + F ( y ) + F ( z ) = 1. Llamemos a este conjunto solución A . Podemos ver eso A es contable por ser un subconjunto del contable ( Z + ) 3 . me gustaria encontrar alguna en especial ϵ que contradice nuestra declaración de límite sobre F , pero parece que no puedo averiguar cómo encontrar esto. ¿Alguna sugerencia?

Y si F ( 0 ) = 1 y F ( norte ) = 0 ¿de lo contrario? Entonces ( 0 , metro , metro + 1 ) es una solución para todos metro , así que tenemos un contraejemplo.
Estoy adivinando R + medio R > 0 ?
@Servaes Vale, gracias. Pensé que significa reales no negativos.

Respuestas (2)

Pista 1:

Porque límite norte → ∞ F ( norte ) = 0 existe norte ∈ Z + tal que F ( norte ) < 1 3 para todos norte > norte .

Pista 2:

Todo valor es asumido por F sólo un número finito de veces.

Asumir ( X norte , y norte , z norte ) es una secuencia de soluciones. Tomando las subsucesiones apropiadas, podemos asumir cada una de X norte , y norte , z norte es una constante o tiende al infinito. Como tenemos infinitas soluciones, podemos suponer z norte → ∞ .

Caso 1. X norte = X , y norte va al infinito. Obtenemos F ( X norte ) + F ( y norte ) + F ( z norte ) → F ( X ) pero F ( X norte ) + F ( y norte ) + F ( z norte ) = 1 , de modo que F ( X ) = 1 , lo que significa F ( y norte ) = 0 . Esto es una contradicción porque F siempre es positivo.

Caso 3. X norte = X , y norte = Y . Análogo al Caso 2.

Caso 4. X norte , y norte , z norte ir al infinito. Obtenemos F ( X norte ) + F ( y norte ) + F ( z norte ) → 0 , una contradicción.

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